Equação diferencial ordinária

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Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

$f' = f,\,$

onde $f$ é uma função desconhecida, e $f'$ a sua derivada.

[editar] Definição

Seja y uma função de x e que

$y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}$

denote as suas derivadas

$\frac{dy}{dx},\ \frac{d^{2}y}{dx^2},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ .

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

$x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots$ .

A ordem de uma equação diferencial é a ordem $n$ da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que uma tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

$F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0$

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

$F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}) = y^{(n)}$

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autónoma se não depender de x, e homogénea se não existirem termos que não dependam exclusivamente de x.

[editar] Exemplos práticos

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton introduziu o cálculo diferencial e as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes.

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}N(t) = c\; N(t).$