Integral

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No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração. Todas elas visando resolver alguns problemas conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração.

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

$\int f(x)dx = F(x)$ se e somente se $\frac{dF(x)}{dx}= f(x)$

[editar] Definição conceitual

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Para descrevermos a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b] utiliza-se a notação:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

$\sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x.$

onde:

$\Delta x = \frac{b-a}{N}$

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), $f (x i)$ é o valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja que o limite

$\lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx = S$

esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O resultado entretando é coerente entre elas.

[editar] Teorema fundamental do Cálculo

Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece-nos uma dica de como obter a integral. Para ver isto, supunha que o limite superior da integral, isto é, b é muito próximo de a, tal que possamos escrever:

b = a + Δ x

Como os pontos limites da integral estão muito próximos podemos escrever:

$\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)$

E olhando na definição da integração como um limite, dada acima, podemos dizer que a integral, neste caso se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto podemos dizer, sem causar um erro muito grande, que:

$\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)$

Comparando com a definição da derivada de uma função:

$f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$

vemos que a função que procuramos F(x) é uma função tal que, quando tomamos a sua derivada obtemos a função f(x). Em outras palavras, se sabemos como calcular a derivada de uma função podemos também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade nos mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se derivarmos uma função e em seguida a integrarmos, obteremos a função original. Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.

[editar] Passo-a-Passo

Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.

Fórmula das Primitivas

$\int a\cdot x^{n} dx = \frac{a\cdot x^{n+1}} {n+1}$

Exemplo:

Tratamos cada membro da função como uma função em separado, para em seguida efetuar a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual substituiremos o valor de X pelos valores do intervalo, feito isso usamos o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

No intervalo (0,3)