Número irracional

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Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais.

Índice

1 História
2 Classificação dos irracionais
3 Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional
4 Se n é um número natural, então raiz quadrada de n é ou irracional ou inteira

[editar] História

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponte, um seguidor de Pitágoras. Ele produziu uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.

[editar] Classificação dos irracionais

Existem dois tipos de números irracionais:

Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raizes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo $\sqrt {2} \sqrt[3] { \frac {42}{5} - \sqrt[5] {7}}$ . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não se expressam através de radicais.

Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( $\,\!\pi$ ) e o número de Euler ( $\,\!e$ ).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.

[editar] Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional

Prova:

Vamos provar por redução ao absurdo. Suponha que $\sqrt{2}$ é racional.

Então podemos colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:

p / q = $\sqrt{2}$ .

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

( p / q )² = 2. Então, p² = 2q². Como p² é par, então p também é par.

Logo podemos chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, ficamos com:

( 2k )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par.

Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Concluímos que $\sqrt{2}$ é irracional.

[editar] Se n é um número natural, então raiz quadrada de n é ou irracional ou inteira

É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Mostraremos que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional. Ou seja se $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ então p^2=n.

A prova segue da seguinte forma: Suponha que $n$ adimite raiz quadrada racional $\frac{p}{q}$ com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade, podemos supor que p e q são primos entre si. Então temos $n^2=\frac{n^2}{1}=\frac{p}{q}$ . Como ambas as frações da expressão são irredutíveis temos $n 2 = | p |$ e $1 = | q |$ . E o resultado segue.