מספר אי רציונלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. למשל, את המספר 2 אפשר להציג כמנה של 2 חלקי 1. מסמנים זאת כך: 2/1, ואת המספר "חצי" אפשר להציג כמנה של 1 חלקי 2, ומסמנים זאת כך: 1/2. לעומת זאת, את השורש של המספר 2, לא ניתן להציג כמנה כזו, ולא קשה להוכיח זאת. הנה ההוכחה, המתבצעת בדרך השלילה:

נניח כי $\sqrt{2}$ הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים מספרים שלמים זרים (כלומר, המספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1) $\!\, m,n$ שמקיימים $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ (כל מספר רציונלי ניתן להצגה בצורה זו, שהרי מספרים שאינם זרים ניתן לצמצם). כעת נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה ונקבל $\ \frac{m^2}{n^2}=2$ , ולכן $\ m^2=2n^2$ .

צד ימין של המשוואה הוא מספר זוגי (כי הוא מתחלק ב-2), ולכן גם צד שמאל של המשוואה הוא מספר זוגי, כלומר $\ m^2$ הוא מספר זוגי. ריבוע של מספר הוא זוגי אם ורק אם המספר עצמו הוא זוגי (כי מכפלה של שני מספרים אי זוגיים היא אי זוגית, ובפרט ריבוע של מספר אי זוגי הוא אי זוגי), כלומר קיים מספר שלם $\ k$ כך שמתקיים $\ m=2k$ . ולכן $\ 2n^2 = 4k^2$ , כלומר $\ n^2 = 2k^2$ , ולכן גם $\ n$ הוא מספר זוגי.

קיבלנו כי $\ m$ וגם $\ n$ הם מספרים זוגיים, ולכן אינם זרים (שניהם מתחלקים ב-2). ההנחה כי $\sqrt{2}$ הוא מספר רציונלי הובילה אותנו לסתירה, ולכן אינה נכונה, כלומר $\sqrt{2}$ הוא מספר אי רציונלי.

באופן כללי יותר, הוכחה דומה מראה שאם $\ n$ מספר טבעי והשורש שלו אינו שלם, אז השורש גם אינו רציונלי.

דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ערכו הוא $\ 3.14159265...$ , קרוב ל- $\ \frac{355}{113} = 3.14159292...$ , אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את הערך המדויק של π.

כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד). אם כי לעתים קשה לקבוע לאיזה משתי הקבוצות הללו משתייך מספר מסוים (ראו, למשל, קבוע אוילר).

ניתן לחלק את המספרים הממשיים לשתי קבוצות:

מספרים אלגבריים, כלומר, מספרים המהווים פתרון של פולינום בעל מקדמים רציונליים, כגון $\sqrt{2}$ שהוא פתרון של המשוואה $\,x^2-2=0$ , או יחס הזהב $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ שהוא פתרון המשוואה $\,x^2 - x- 1=0\$ . כל המספרים הרציונליים הם מספרים אלגבריים (והדוגמה לעיל, בעניין $\sqrt{2}$ , מראה שההפך אינו נכון).
מספרים טרנסצנדנטיים הם מספרים ממשיים שאינם מספרים אלגבריים. למשל, במאה ה-19 הוכח כי π ו-e הם מספרים טרנסצנדנטיים. כיוון שמספרים רציונליים הם מספרים אלגבריים, נובע שכל המספרים הטרנסצנדנטיים הם אי-רציונליים.