Relação de ordem
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Uma relação de ordem é definida para pares de elementos de um conjunto S. Ela necessariamente tem que possuir três características:
- (i) totalidade:
;
- (ii) anti-simetria:
; e
- (iii) transitividade:
.
Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto ordenado.
Note que os axiomas estão escritos para 
, mas axiomas semelhantes podem ser escritos para 
, < ou >. Por exemplo:
- (i) totalidade:
- (ii) anti-simetria:
- (iii) transitividade:
Índice |
[editar] Relação de Ordem Parcial
Uma relação de ordem parcial possui as propriedades (ii) e (iii) acima. Um conjunto munido de uma relação de ordem parcial é chamado de conjunto parcialmente ordenado.
[editar] Quota Superior
Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é uma quota superior de um subconjunto quando ele é maior ou igual a todos elementos desse subconjunto.
[editar] Maximal
Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior ou igual a ele.
[editar] Relação de Ordem Total
Quando é necessário dar destaque à propriedade (i), como, por exemplo, no enunciado do Lema de Zorn, costuma-se dizer Relação de Ordem Total e o conjunto com essa propriedade de Totalmente Ordenado.
[editar] Conjunto Bem Ordenado
Um conjunto é bem ordenado quando todo subconjunto tem um elemento mínimo, que pertence a esse subconjunto. Por exemplo, 
é bem ordenado pela relação usual de comparação de números (ver Princípio da boa-ordenação), mas 
, 
e 
não são. O conceito de bem ordenado é importante para definir matematicamente o que são números ordinais.
[editar] Ver também
- Relação (matemática)
- Topologia da ordem: uma relação de ordem parcial gera uma topologia, que tem como base os conjuntos do tipo {x | x < b}, {x | x > a} e {x | a < x < b}.
- Corpo ordenado: quando o conjunto ordenado tem uma estrutura algébrica de corpo, e a ordem e as operações algébricas são compatíveis.
