Bază de numeraţie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Orice sistem de numeraţie poziţional are asociat o bază de numeraţie definită prin:

• un număr întreg de simboluri (cifre, grup de cifre, litere, combinaţie de cifre şi litere, semne, etc.) folosite pentru reprezentarea numerelor în sistemul de numeraţie respectiv, şi care dă şi denumirea acestuia precum şi a bazei de numeraţie asociate lui;
• regula de reprezentare a numerelor în acest sistem, unică pentru toate bazele de numeraţie existente.

Baza unui sistem de numeraţie poziţional se defineşte ca fiind numărul unităţilor de acelaşi ordin de mărime care formează o unitate de ordin imediat superior. Altfel spus, baza unui sistem de numeraţie reprezintă numărul de semne distincte necesare scrierii unui număr. Teoretic, există o mulţime de baze de numeraţie, dar numai câteva s-au impus şi sunt folosite curent în viaţa de zi cu zi (baza de numeraţie zecimală şi hexazecimală) sau în unele domenii specifice (baza de numeraţie binară, octală, hexazecimală).

Cuprins 1 Notaţii folosite 2 Numărul de semne folosite 3 Regula de reprezentare a unui număr 4 Conversia unui număr natural 5 Conversia unui număr fracţionar

[modifică] Notaţii folosite

Întrucât majoritatea bazelor de numeraţie folosesc ca simboluri cifrele arabe şi literele alfabetului latin este necesară o notaţie care să indice baza folosită pentru reprezentarea unui număr. De obicei aceasta se notează ca un subindice între paranteze rotunde, de ex. 354₍₇₎ (354 în baza 7), iar pentru bazele „2”, „8” şi „16” se pot utiliza alternativ literele „b” (de la binar), „o” (de la octal) respectiv „h” (de la hexazecimal). Există şi alte convenţii de notare a bazei de numeraţie folosită. De exemplu, la numărul 55 scris în sistemul hexazecimal se adaugă fie un prefix „0x” (rezultând notaţia 0x55), fie un sufix „h” (rezultând notaţia 55h). Valorile numerice pentru care nu se specifică baza de numeraţie se consideră de regulă că sunt scrise în baza de numeraţie zecimală.

[modifică] Numărul de semne folosite

Orice număr întreg, superior sau egal cu 2 poate fi o bază de numeraţie. Dacă „b” este o bază de numeraţie, sistemul de numeraţie are „n” simboluri de la „0” la „n-1”. Pentru sisteme de numeraţie cu baza mai mare ca 10 se folosesc şi alte semne în afara cifrelor arabe, de exemplu litere (în sistemul de numeraţie hexazecimal).

[modifică] Regula de reprezentare a unui număr

Într-un sistem de numeraţie poziţional, orice număr este reprezentat printr-un şir de simboluri (cele din care se compune baza de numeraţie). Fiecare poziţie a unui simbol în număr are o anumită pondere. Valoarea numărului este suma ponderată a simbolurilor din care este format numărul.

În teoria numerelor se demonstrează că dacă „b” este baza de numeraţie (cu b>1 şi , atunci pentru , există în mod unic rangul ^* şi numerele c₀, c₁ … c_n , numite cifre în baza „b”, cu c_i < b, pentru care:

• x = c_nbⁿ , c_n-1b^n-1 , …. c₁b + c₀
• pentru
• c_n<>0

Reprezentarea numărului „x” în baza „b” va fi c_nc_n-1 … c₁...c₀ .

Altfel spus, dată fiind o bază de numeraţie „b”, orice număr natural „x” se poate scrie ca o sumă de produse formate din cifrele c_i (scrise în baza „b”) multiplicate cu puterea de rang corespunzător a bazei „b”.

În cazul general, dacă „x”este un număr real pozitiv, spunem că c_nc_n-1 … c₁c₀, c_-1c_-2c_-3 este reprezentarea numărului „x” în baza „b” dacă:

• x = c_nbⁿ, c_n-1b^n-1, …. c₁b + c₀ + c_-1b^-1+c_-2b^-2...
• 
• c_n<>0
• pentru orice indice există j < k astfel ca c_j < b - 1(asigură unicitatea reprezentării)

În cazul numerelor fracţionare, cifrele din dreapta virgulei vor avea ponderi corespunzătoare, date de exponenţii negativi ai bazei. De exemplu, reprezentarea în baza 10 a numărului 1101,001 scris în baza 2 este:

1101,001₍₂₎= 1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+0*2^-2+1*2^-3= 13,125₍₁₀₎

Exemple de numere reprezentate în diferite baze de numeraţie se găsesc în articolul Sisteme de numeraţie .

[modifică] Conversia unui număr natural

Dat fiind un număr întreg (scris într-o bază oarecare b₁), pentru scrierea lui într-o altă bază (b₂) se împarte succesiv numărul scris în baza b₁ la noua bază până când se obţine câtul 0;

• la prima împărţire se obţine un cât Q₀şi un rest r₀
• dacă r₀ este diferit de 0, câtul Q₀ se împarte din nou la baza b₁ , obţinându-se un nou cât Q₁ şi un nou rest r₁ ş.a.m.d. până când câtul obţinut este egal cu 0.

Reprezentarea în noua bază se obţine prin scrierea resturilor (reprezentate în noua bază) în ordinea inversă obţinerii lor şi multiplicarea cu puterea corespunzătoare a bazei care este egală cu rangul operaţiei. De exemplu, pentru reprezentarea numerelor 61 ₍₁₀₎ în bazele „2” respectiv „16” vom avea:

Reprezentarea lui 61(10) în baza 2
Nr.	:	Baza	=	Q	+	Rest în baza 10	Rest în baza 2	Rangul operatiei
61	:	2	=	30	+	1(10)	1(2)	0
30	:	2	=	15	+	0(10)	0(2)	1
15	:	2	=	7	+	1(10)	1(2)	2
7	:	2	=	3	+	1(10)	1(2)	3
3	:	2	=	1	+	1(10)	1(2)	4
1	:	2	=	0	+	1(10)	1(2)	5
61(10)=111101(2) = 1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20

Reprezentarea lui 61(10) în baza 16
Nr.	:	Baza	=	Q	+	Rest în baza 10	Rest în baza 16	Rangul operatiei
61	:	16	=	3	+	13(10)	D(16)	0
3	:	16	=	3	+	3(10)	3(16)	1
61(10) =3D(16) = 3*161 + 13*160

[modifică] Conversia unui număr fracţionar

La conversia numerelor fracţionare, se separă partea întreagă de partea fracţionară şi se vor face cele două conversii separat. Partea fracţionară a unui număr se poate scrie sub forma:

D_f = x _-1b^-1 + x_-2b^-2 + … + x_-m b^-m

Prin multiplicare cu „b” a membrilor ecuaţiei de mai sus obţinem:

b*D_f = x _-1 + x_-2b^-1 + … + x_-m b^-m+1

Se observă că partea întreagă a expresiei din membrul drept este x _-1. Prin scăderea acestei valori şi o nouă multiplicare cu „b” se obţine coeficientul x _-2 ca parte întreagă a expresiei rezultate în membrul drept:

b*(b*D_f) = x _-2 + x_-3b^-1 + … + x_-m b^-m+2

Se continuă aceste calcule atât timp cât multiplicăm cu „b” numere diferite de 0. Este posibil ca în unele situaţii, operaţia de convertire să nu se termine niciodată şi din acest motiv, un alt criteriu de oprire este precizia acceptată a reprezentării. De exemplu, pentru reprezentarea în baza 10 a numărului 1101,001 scris în baza 2 se parcurg următorii paşi:

Reprezentarea lui 0,61(10) în baza 2
0,61	x	2	=	1,22	=	1(10)	1(2)
0,22	x	2	=	0,44	=	0(10)	0(2)
0,44	x	2	=	0,88	=	0(10)	0(2)
0,88	x	2	=	1,76	=	1(10)	1(2)
0,76	x	2	=	1,52	=	1(10)	1(2)
0,52	x	2	=	1,04	=	1(10)	1(2)
0,04	x	2	=	0,08	=	0(10)	0(2(
0,61(10) = 0,1001110…(2)

Reprezentarea numărului în noua bază se face prin scrierea succesivă a părţii întregi obţinute, în ordinea succesivă a operaţiilor:

1101,001₍₂₎ = 1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+0*2^-2+1*2^-3 = 13,125₍₁₀₎