Ecuaţie cu derivate parţiale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un exemplu celebru îl constituie ecuaţia Laplace: $\frac{\part^2 u}{\part x^2} + \frac{\part^2 u}{\part y^2} + \frac{\part^2 u}{\part z^2}=0,$ Căutăm soluţiile acestei ecuaţii sub forma unor polinoame omogene în $x$ , $y$ şi $z$ .

- polinomul omogen de gradul 0: $U 0 = a$ (unde $a$ este o constantă arbitrară) este, în mod evident, singurul polinomul omogen de gradul 0 care verifică ecuaţia Laplace

- polinomul omogen de gradul 1: $U 1 = a x + b y + c z$ . Polinomul omogen de gradul 1 verifică ecuaţia Laplace pentru oricare valori ale coeficienţilor constanţi $a$ , $b$ şi $c$ . Aşadar există trei soluţii liniar independente ale ecuaţiei Laplace, şi anume $x$ , $y$ şi $z$ . Acestea, alături de combinaţiile lor liniare cu coeficienţi constanţi, furnizează soluţia generală a ecuaţiei Laplace sub forma unui polinom omogen de gradul 1.

- polinomul omogen de gradul 2: $U 2 = a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e y x + f z x$

Calculăm succesiv:

$\frac{\part^2 U_2}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2a$

$\frac{\part^2 U_2}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2b$

$\frac{\part^2 U_2}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2c$

Sumând cele trei expresii şi egalând cu O, conform ecuaţiei Laplace, obţinem $2 a + 2 b + 2 c = 0$ , adică $a + b + c = 0$ . Punând, de exemplu, $c = - a - b$ , obţinem, după o rearanjare a termenilor,forma generală a polinoamelor omogene de gradul 2 care verifică ecuaţia Laplace:

$U 2 = a x 2 + b y 2 + ( - a - b) z 2 + d x y + e y x + f z x$

$= a x 2 + b y 2 - a z 2 - b z 2 + d x y + e y x + f z x$

$= a (x 2 - z 2) + b (y 2 - z 2) + d x y + e y x + f z x$

De aici obţinem 5 soluţii liniar independente ale ecuaţiei Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 2.

- polinomul omogen de gradul 3: $U 3 = a x 3 + b y 3 + c z 3 + d x 2 y + e x z + f y 2 x + g y 2 z + h z 2 x + k z 2 y + l x z y$

Calculăm succesiv:

$\frac{\part^2 U_3}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =$

$=\frac{\part}{\part x} (3ax^2+2dxy+2exz+fy^2+hz^2+lzy =6ax+2dy+2ez$

$\frac{\part^2 U_3}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =$

$=\frac{\part}{\part y}(3by^2+dx^2+2fyx+2gyz+kz^2+lxz) =6by+2fx+2gz$

$\frac{\part^2 U_3}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part z^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy )=$

$=\frac{\part}{\part z}(3cz^2+ex^2+gy^2+2hzx+2kzy+lxy)=6cz+2hx+2ky$

Sumând cele trei expresii şi egalând cu O, conform ecuaţiei Laplace, obţinem $6 a x + 2 d y + 2 e z + 6 b y + 2 f x + 2 g z + 6 c z + 2 h x + 2 k y = 0$ ,