Progresie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, progresia este un şir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli.

Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică şi progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operaţie (în care intervine numărul anterior din şir şi o constantă), şi anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice şi înmulţirea în cazul celor geometrice.

[modifică] Progresii aritmetice

Progresiile aritmetice finite se caracterizează printr-o diferenţă constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma a₁, a₂, ..., a_n sau a₁ , a₁ + r , a₁ + 2r , ... , a₁ + (n-1)r unde:

n este numărul de elemente din progresie,
a_k = a₁ + (k - 1)r , pentru toţi k între 1 şi n, numită şi formula generală.
r este raţia : r = a_k - a_k-1 numită şi formula de recurenţă.
Suma primelor n numere dintr-o progresie artimetică finită se poate calcula astfel:

$S_n = {{{(a_1 + a_n)} \cdot n} \over 2} = {{{( 2 \cdot a_1 + (n-1) \cdot r)} \cdot n} \over 2}$

Exemplu : -5 , -1 , 3 , 7 ... cu r = 4 şi a₁ = -5 .

Această formulă a fost găsită şi de către Gauss încă de pe timpul când era în gimnaziu.

[modifică] Progresii geometrice

Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant; acest raport se numeşte raţia progresiei.

b_k = b_k-1 ^. q = ... = b₁ ^. q^k-1

Suma primelor n numere ale unei progresii este:

S_n = b₁ ^. (1 + q + q² + ... + q^{n - 1}) = b₁ ^. (qⁿ - 1) / (q - 1), dacă q $\ne$ 1, altfel S_n = n ^. b₁.

Exemplu : 0.001 , 0.01 , 0.1 , 1 , 10 ,... este o progresie geometrică cu b₁ = 0.001 şi q = 10 .

[modifică] Progresii armonice

O progresie armonică este un şir de numere care reprezintă inversele unei progresii aritmetice. De exemplu şirul {1, 1/3, 1/5, 1/7, ...} este o progresie armonică.

[modifică] Denumiri

Denumirea acestor progresii provine de la proprietatea oricărui număr din şir (cu excepţia capetelor) de a fi egal cu un anumit tip de medie a celor doi vecini ai săi:

la progresia aritmetică este media aritmetică,
la progresia geometrică este media geometrică (cu condiţia ca raţia să fie un număr pozitiv),
la progresia armonică este media armonică.