Вариация функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математическом анализе вариацией функции из отрезка на вещественной прямой в $\mathbb{R}^n$ называется обобщение понятия длины кривой, задаваемой в $\mathbb{R}^n$ этой функцией.

Содержание

1 Формальное определение
2 Связанные определения
3 Свойства функций ограниченной вариации
4 Вычисление вариации
- 4.1 Вариация непрерывно дифференцируемой функции
5 Обобщения
6 См. также
7 Литература

[править] Формальное определение

Пусть $f: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ . Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции $f$ на отрезке $[a, b]$ называется следующая величина:

$V_a^b f\,\stackrel{def}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m||f(x_{k+1})-f(x_k)||$ ,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка $[a, b]$ длин ломаных в $\mathbb{R}^n$ , концы которых соответствуют значениям $f$ в точках разбиения.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V [a, b]$ . В таком случае определена функция $v(x)=V_a^x f$ , называющаяся функцией полной вариации для $f$ .

[править] Связанные определения

Положительная вариация вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a, b]$ называется следующая величина:

$P_a^b f\stackrel{def}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}$ .

Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

$N_a^b f\stackrel{def}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,f(x_k)-f(x_{k+1})\}$ .

Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

$V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f$ .

[править] Свойства функций ограниченной вариации

Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию.
Если $a<x\leqslant y<b$ , а $f\in V[a,b]$ , то $V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f$ .
Если функция $f$ непрерывна в точке $a$ справа и принадлежит $V [a, b]$ , то $\lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0$ .
Функция $f (x)$ , заданная на отрезке $[a, b]$ , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей функции на $[a, b]$ функций (разложение Жордана).
Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все I рода.
Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

[править] Вычисление вариации

[править] Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ принадлежит классу $C 1$ , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a, b]$ , то $f$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

$\int\limits_a^b||f^\prime(x)||\,dx$ ,

то есть равна интегралу нормы производной.

[править] Обобщения

В случае нескольких, переменных существует несколько определений вариации функции, см. вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пъерпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.

[править] См. также

Аффинная длина
Вариационное исчисление.
Длина кривой
Интеграл Римана — Стилтьеса
Курвиметр — прибор для измерения длин кривых на географических картах

[править] Литература

Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934.

Категория: Математический анализ

Вариация функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Формальное определение

[править] Связанные определения

[править] Свойства функций ограниченной вариации

[править] Вычисление вариации

[править] Вариация непрерывно дифференцируемой функции

[править] Обобщения

[править] См. также

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках