Интегральный признак Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегральный признак Коши — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $[1,\infty)$ , последний часто может быть найден в явном виде.

[править] Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

$f(x)>0 \ \forall x$ (функция принимает только положительные значения)
$f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2$ (функция монотонно убывает)
$f (n) = a n$

Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и несобственный интеграл $\int_1^\infty f(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

[править] Набросок доказательства

Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
Площадь большей фигуры равна $S b = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n - 1)$
Площадь меньшей фигуры равна $S s = f (2) + f (3) + f (4) + ... + f (n)$
Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна $S_{tr}=\int_1^n f(x)\,dx$
Получаем $S_s \le S_{tr} \le S_b \; \Rightarrow \; S_n - a_1 \le \int_1^n f(x)\,dx \le S_{n-1}$
Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

[править] Примеры

$\sum\frac1n$ расходится так как $\int_1^\infty\frac1xdx=\ln|_1^\infty=\infty$ .
$\sum\frac1{n^2}$ сходится так как $\int_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1$ .