Teste da Integral

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O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

[editar] Enunciado

Seja uma série de números positivos e uma função com as seguintes propriedades:

• ;
• f(x) é decrescente;
• f(x) é localmente integrável(imediato se estivermos tratando com Integral de Lebesgue) (muitas vezes temos uma função contínua);
• f(n) = a_n.

Então se e somente se converge.

[editar] Demonstração

Como f(x) é decrescente e f(n) = a_n, podemos enquadrar os termos da seguinte forma:

, se

integrando no intervalo, temos:

Somando até N:

Agora basta observar que implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

[editar] Exemplo

Considera a série harmônica generalizada com expoente α > 1:

e considere a função:

é sabido que:

E, portanto, tal série converge.