Линейно-квадратичное гауссовское управление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Линейно-квадратичное гауссовское управление (англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) — набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез проводится путём минимизации заданного квадратичного функционала.

[править] Обзор

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений в виде гауссова белого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчёта для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надёжную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комибинированный ЛКГ/H∞ синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем.

[править] ЛКГ-синтез

ЛКГ-регулятор в контуре управления.

В процессе ЛКГ-синтеза получается оптимальный регулятор $\! F(s)$ для некоторого объекта управления $\! G(s)$ .

Представим модель системы в пространстве состояний:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t) + \mathbf{\xi}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t) + \mathbf{\theta}(t)$ ,

где

$x(\cdot)$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы $y(\cdot)$ — вектор выхода, $u(\cdot)$ вектор управления, $\xi(\cdot)$ — возмущения, действующие на объект управления, $\theta(\cdot)$ — шум измерения (датчики, АЦП и т. п.), $A \!$ — матрица системы, $B \!$ — матрица управления, $C \!$ — матрица выхода и $D \!$ — матрица прямой связи.

Шум объекта управления и шум измерения считаются белыми с гауссовым распределением.

Тогда задача синтеза ЛКГ-регулятора будет заключаться в минимизации некоторого функционала качества, который задаётся в виде:

$\mathcal{J} = \lim_{T \to \infty} E \int_{0}^{T} \left[ x^T(t)Rx(t) + u^T(t)Qu(t) \right] \, dt$

Матрицы $R \!$ и $Q \!$ представляют собой параметры функционала качества и являются положительно-определёнными матрицами.

Описанная выше методология подходит также для синтеза ЛКГ-оптимальных регуляторов и для дискретных систем. Функционал качества в этом случае задаётся соотношением:

$\mathcal{J} = E \sum_{k=0}^{\infty} \left[ x^T(k)Rx(k) + u^T(k)Qu(k) \right] \,$

Функционал качества минимизируется стандартными методами теории оптимального управления. Получившийся в результате регулятор будет ЛКГ-оптимальным регулятором.

[править] См. также

Линейно-квадратичный регулятор

[править] Литература

Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов//Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 7. — С.96-106.
Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748с.
M. Athans, «The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design», IEEE Trans. Automat. Contr., AC-16, pp. 529—552, Dec. 1971.

Категория: Теория управления