Метод Самокиша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод Самокиша (Формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [-1;1]

$I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx$ – оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

$x = th\left(\frac{t}2\right)$ ;

$th\left(\frac{t}2\right)=\left(\frac{e^\frac{t}2-e^\frac{-t}2}{e^\frac{t}2+e^\frac{-t}2}\right)=\frac{e^t-1}{e^t+1}$

$dx=\frac{1}{2}\frac1{ch^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\frac{2e^t}{(e^t+1)^2}dt$ , тогда интеграл принимает следующий вид:

$I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx=2\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^t-1}{e^t+1}\frac{2e^t}{(e^t+1)^2}\,dt=2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{e^{nh}-1}{e^{nh}+1}\frac{e^{nh}}{(e^{nh}+1)^2}\right)$

Интеграл берется по формуле трапеции. Пусть $q = e h$ ,где $h = \frac{(b-a)}{m}$ , m-количество промежутков деления, тогда :

$I=\int\limits_{-1}^1 f(x)\,dx = 2h\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f\left(\frac{q^{n}-1}{q^{n}+1}\frac{q^{n}}{(q^{n}+1)^2}\right)$

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного ε.

[править] Пример:

функция, вычисляющая интеграл, с использованием данного метода

double samokish(double a,double b)
{
   double S=0,h;  
   h = (double)(b-a)/n_of_intervals;
   double sum0=0;
   double sum1=0;
   double sum2=0;
   double sum12=0.1;
   int j,i,k=0;
   double q,qn=0;
   q=exp(h);
   while(fabs(sum12-S)>EPS)
   {
     sum12=2*(sum1+sum2);
     
     

     sum1=0;sum0=0.1;i=0;
   while(fabs(sum1-sum0)>EPS)
    {

       sum0=sum1;
       qn=exp(h*i);
       sum1+=funct((qn-1)/(qn+1))*qn/pow((qn+1),2);
       i++;
     }                                  
     sum2=0;sum0=0.1;j=1;
     while(fabs(sum2-sum0)>EPS)
     {

       sum0=sum2;
       qn=exp(h*(-j));
       sum2+=funct((qn-1)/(qn+1))*qn/pow((qn+1),2);
       j++;
     }
     S=2*(sum1+sum2);
   }
   return S*h;
}

У этой статьи нет ссылок на другие языковые разделы.
Вы можете помочь проекту, найдя и добавив их в статью.

Категории: Численные методы | Википедия:Статьи без интервик

Метод Самокиша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Пример:

Views

Навигация

Участие

Поиск