Наблюдатель (динамические системы)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Система
- (1)
- (2)
является наблюдателем для системы
- (3),
- (4),
если для каждого начального состояния системы (3)-(4) существует начальное состояние для системы (1)-(2), такое, что равенство приводит к при всех управлениях .
Здесь — матрицы соответствующей размерности.
Если размерность равна размерности и выполнение условия дает при всех управлениях , то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).
Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. -мерный вектор , называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени . -мерный вектор описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.
-мерный вектор представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно . называют наблюдаемой переменной.
Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда , , , где является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:
- (5).
Матрица называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде , откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы .
В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления , устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы , называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.
Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления
удовлетворяет дифференциальному уравнению
- .
Ошибка восстановления обладает тем свойством, что
- при
для всех тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.
Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления , однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной .