Beobachter (Regelungstechnik)

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Beobachter berechnen Zustände in der Regelungstechnik aus messbaren Zuständen (Eingangs- und Ausgangsgrößen). Dies geschieht, weil in der Regel nicht alle Zustände messbar sind beziehungsweise eine gewünschte Redundanz nicht herstellbar ist. Um Beobachter konstruieren zu können muss ein System beobachtbar sein, hierbei wird zwischen struktureller Beobachtbarkeit und vollständiger Beobachtbarkeit unterschieden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition vollständiger Beobachtbarkeit
2 Definition strukturelle Beobachtbarkeit
3 Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit
4 Beobachter-Normalform
5 Luenberger-Beobachter [4]
6 Reduzierter Beobachter
7 Reduzierter Beobachter mit Zustandsrückführung
8 Quellen
9 Siehe auch
10 Literatur

[Bearbeiten] Definition vollständiger Beobachtbarkeit

Blockdiagramm Zusandsraumdarstellung

Ein lineares System ist dann beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion u(t) und bekannten Matrizen A und C aus der Messung des Ausgangsvektors y(t) über eine endliches Zeitintervall $t 0 < = t < = t 1$ der Anfangszustand $x (t 0)$ eindeutig bestimmt werden kann.

[Bearbeiten] Definition strukturelle Beobachtbarkeit

Eine Klasse von Systemen $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ heißt strukturell steuerbar bzw. strukturell beobachtbar, wenn es mindestens ein System $(A, B, C) \in S$ gibt, das vollständig steuerbar bzw. vollständig beobachtbar ist.

Um dies nachzuweisen gibt es Verfahren deren Erläuterung hier zu weit führen würde. Dabei sind $S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)$ Matrizen in denen alle Elemente ungleich 0 mit * markiert wurden, da alle Elemente gleich 0 über die strukturelle Beobachtbarkeit und strukturellen Steuerbarkeit entscheiden. Sie sind nicht mit der Beobachtbarkeitsmatrix zu verwechseln.

[Bearbeiten] Nachweis vollständiger Beobachtbarkeit

Strukturelle Beobachtbarkeit ist eine notwendige Bedingung für die vollständige Steuerbarkeit. Jedoch werden zumeist nur die folgenden Beobachtbarkeitskriterien genutzt um eine vollständige Beobachtbarkeit nachzuweisen.

Das Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman ist relativ einfach zu bestimmen, jedoch kann dabei die Beobachtbarkeit nicht auf einzelne Eigenvorgänge bzw. Eigenwerte zu beziehen. Dies kann mit Hilfe des Gilbert und des Hautus Kriteriums geschehen.

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Kalman^[1]

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix $S B$ den Rang $n$ hat:

$\mathrm{Rang}\ S_B{ }={ }n$ mit

$S_B=\begin{pmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ ... \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert^[2]

Das System $(diag \lambda_i, \tilde C )$ , dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Matrix $\tilde C$ keine Nullspalte besitzt und wenn die p Spalten $\tilde c$ , der Matrix $\tilde C$ , die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.

Mit $\frac{d \tilde x(t)}{dt}=diag \lambda_i \tilde x(t), \ \tilde x (0)=V^{-1}x_0$

$y(t)=\tilde C \tilde x(t)$

$\tilde C = CV$

V ist dabei die Matrix mit den Eigenvektoren.

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Hautus^[3]

Das System (A,C) ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Bedingung:

Rang $\begin{pmatrix} \lambda_i I - A\\ C \end{pmatrix}=n$

für alle Eingenwerte

λ i (i = 1,2,..., n)

der Matrix A erfüllt ist.

Was wiederum gleichbedeuten mit der Aussage:

für alle Rechtseigenvektoren $\vec v_j\ (j=0,1,...,n-1)$ ist.

[Bearbeiten] Beobachter-Normalform

Die Beobachter-Normalform kann unter anderem aus der Übertragungsfunktion: $G(s)=\frac{b_0+b_1s+...+b_1s+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+...+a_1s+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}$ einfach bestimmt werden.

$\begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ ...\\ \dot x_{n-1}\\ \dot x_n\\\end{bmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} 0&0& ... & 0 &-a_0\\ 1&0& ... & 0 &-a_1\\ 0&1& ... & 0 &-a_2\\ ...& ... &... &... &... \\ 0 & ... &... & 1 &-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}}_{A_B} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \underbrace{ \begin{bmatrix} b_0\\ b_1\\ ...\\ b_{n-2}\\ b_{n-1}\\\end{bmatrix} }_{b_B} u$

$y= \begin{matrix} \underbrace{(0 \ 0 \ .\ .\ . \ 1)}\\ \textrm{}^{\rm c^T_B} \end{matrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ...\\ x_{n-1}\\ x_n\\\end{bmatrix}+ \begin{matrix} \underbrace{b_n}\\ \textrm{}^{\rm d_B} \end{matrix} u$ .

[Bearbeiten] Luenberger-Beobachter ^[4]

Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung

Die Idee von Luenberger 1964 beruht auf einer Parallelschaltung vom Beobachter zum Regelstreckenmodel. Dabei wird jedoch die Differenz zwischen $y(t) -\hat y(t)$ auf das Modell zurück geführt, um den Beobachter flexibel auf Störungen beziehungsweise eigene Ungenauigkeiten reagieren zu lassen. Grundsätzliche Gleichung des Beobachters ist also

$\frac{d\hat x(t)}{dt}=A \hat x(t)+ B u(t) + u_B(t),\ \hat x(0)=\hat x_0$

$\hat y(t) = c \hat x(t)$

dabei bestimmt sich

$u_B(t)=L(y(t)-\hat y(t))$

somit ergibt sich für den Beobachter

$\frac{d\hat x(t)}{dt}= (A-LC) \hat x(t)+ B u(t) + L y(t)$

Für den Beobachtungsfehler $e(t)=x(t)-\hat x(t)$ eines Luenbergeroperator gilt daher $\lim_{t \to \infty}||e(t)||=0$ , wenn die alle Eigenwerte der Matrix $(A\ -\ LC)$ negative Realteile besitzen.

Die Rückführmatrix $l\$ wird beim Luenberger Beobachter so gewählt, dass die Matrix

$A'_B-c_Bl'=\begin{pmatrix} 0&1& 0 & ... & 0&\\ 0&0& 1 & & \vdots\\ ...&...& 0& \ddots & 0\\ 0 & \cdots &\cdots & 0 &1 \\ -a_0 -l_1 & -a_1 -l_2 & -a_2 -l_3 & .. &-a_{n-1}-l_n\\ \end{pmatrix}$

die vorgegebenen Beobachtungseigenwerte $λ B i (i = 1,..., n)$ aufweist. Bestimmt man aus diesen Eigenwerte die Koeffizenten des charakteristischen Polynoms $(a_{B0},\ a_{B1},\ ...,\ a_{Bn-1})$ , so kann der Vektor $l\$ wie folgt bestimmt werden.

$l'\ =(a_{B0}, a_{B1}, ...,a_{Bn-1}) - (a_{0}, a_{1}, ...,a_{n-1})$

[Bearbeiten] Reduzierter Beobachter

[Bearbeiten] Reduzierter Beobachter mit Zustandsrückführung

[Bearbeiten] Quellen

↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.94 , 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.95, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.96, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]
↑ [Lunze, Jan: Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung. S.332ff, 4. Aufl. Heidelberg : Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X]

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

S.D.G. Cumming, Design of observers of reduced dynamics, Electronic Letters 5, 1961, 213-214
D. G. Luenberger, Observing the state of a linear system. IEEE Transaction on Military Electronics, (8):74-80, 1964
R.E. Kalman and B. Bucy, New results in linear filtering and prediction theory.Trans ASME, Series D, Journal of Basic Engineering(ASME),83D:98-108, 1961
A. Gelb, Applied Optimal Estimation. The MIT press, Massachusetts Institute of Technology, 1974
Otto Föllinger, Regelunsgtechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung, ISBN 3-7785-2336-8

Von „http://de.wikipedia.org../../../b/e/o/Beobachter_%28Regelungstechnik%29_492d.html“

Kategorie: Steuerungs- und Regelungstechnik

Beobachter (Regelungstechnik)

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[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert^[2]

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Hautus^[3]

[Bearbeiten] Beobachter-Normalform

[Bearbeiten] Luenberger-Beobachter ^[4]

[Bearbeiten] Reduzierter Beobachter

[Bearbeiten] Reduzierter Beobachter mit Zustandsrückführung

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[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Hautus[3]

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[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Gilbert^[2]

[Bearbeiten] Beobachtbarkeitskriterium von Hautus^[3]

[Bearbeiten] Luenberger-Beobachter ^[4]