ノルム

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解析学において、ノルム (norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。

体の拡大のノルムについてはノルム (体論)を参照。

[編集] 定義

K を実数体 R または複素数体 C とし、K 上のベクトル空間 V を考える。このとき任意の a ∈ K と任意の u, v ∈ V に対して、

正値性： ||v|| ≥ 0
||v|| = 0 ⇔ v = 0
斉次性： ||av|| = |a| ||v||
三角不等式： ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

を満たすような関数 || · ||: V → R; x → ||x|| を V のノルムと呼ぶ。

[編集] 距離

ノルム空間 V のノルム || · || に対し、2 変数の実数値関数 d: V × V → R を

$d(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \lVert\mathbf{x}-\mathbf{y}\rVert$

と定義すると、ノルムの公理から d は距離関数の公理を満たし、V は d に関する距離空間となる。

[編集] 種々のノルム

[編集] 有限次元ベクトル

ベクトル x = (x₁, x₂, ..., x_n) を考える。|·| を絶対値とすると、 ユークリッドノルム

$\| \mathbf{x} \|_2 := \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}$

や最大値ノルム（スープノルム）

$\| \mathbf{x} \|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right)$

はノルムの条件を満たす。一般に 1 ≤ p < ∞ に対して

$\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{|x_1|^p + \cdots + |x_n|^p}$

を p 次平均ノルムまたは p-ノルムと呼ぶ。この呼称を用いると、ユークリッドノルムは 2-ノルムである。最大値ノルム、スープノルムはこの p-ノルムの p → ∞ としたときの自然な極限であると見なされるため、∞-ノルム（無限大ノルム）とも呼ばれる。

[編集] 数列

数列（可算無限次元のベクトル）x = (x_n)_n=1,2,... に対しても、p-ノルムあるいは l^p-ノルム（l_p-ノルム）

$\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{n=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}$

や、∞-ノルム、l^∞-ノルム（l_∞-ノルム）

$\|\mathbf{x}\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}}\{|x_n|\}$

などが定義される。

[編集] 関数

関数を連続的な添字をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を積分に置き換えて、高々可算な場合と同様に p-ノルムなどを考えることができる。集合 X 上で定義される関数 f(x) に対して p-ノルム（L^p-ノルム）は

$\|\mathbf{x}\|_p := \left( \int_X |f(x)|^p \right)^{1/p}$

が定義される。また ∞-ノルム（L^∞-ノルム）は

$\|\mathbf{x}\|_\infty := \sup_{x\in X} |f(x)|$

などが定義される。ただし、ルベーグ積分を扱っている文脈では

$\|\mathbf{x}\|_\infty := \operatorname{ess.sup}_{x\in X}|f(x)| = \inf\{\alpha \mid |f(x)| \leq \alpha \mbox{ a.e.}\,x\}$

とするほうが自然である。ただし、ess.sup は本質的上限と呼ばれる値である（測度零の集合における例外を除いて上界となる値の下限）。

[編集] 作用素

関数解析学などでは、有界線型作用素（連続な線型写像）の作用素ノルム (operator norm) と呼ばれるノルム

$\|f\| = \sup_{x\in X} \frac{\|f(x)\|}{\|x\|}$

も重要である。

[編集] 関連項目

トレース (数学)

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