Norma (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva. Una seminorma invece può assegnare la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. In contesti fisici la norma viene chiamata modulo del vettore ed è intesa come la sua norma euclidea.

[modifica] Definizione

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso $X$ è una funzione

$\begin{matrix} \| \cdot \|:& X & \longrightarrow & [0,+\infty)\\ & x & \mapsto &\| x \| \end{matrix}$

che verifica le seguenti condizioni:

$\| x \|=0$ se e solo se $x = 0$ (funzione definita positiva)
$\| \lambda x \|=|\lambda| \| x \|$ per ogni scalare $λ$ (omogeneità)
$\| x+y \|\leq \| x \|+ \| y \|$ per ogni $x,y \in X$ (disuguaglianza triangolare)

La coppia $(X,\left \| \cdot \right \| )$ si dice spazio normato.

Una funzione che verifichi soltanto la seconda e la terza condizione viene chiamata seminorma.

[modifica] Esempi

Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

L'esempio più tipico di norma è quella dello spazio euclideo di dimensione n $\R^n$ :

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|:=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ (detta "norma euclidea")

In $\R$ e in $\mathbb C$ la funzione $x \mapsto |x|$ è una norma
Sono norme di $\R^n$ e di $\mathbb C^n$ anche le funzioni

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_1:=|x_1|+...+|x_n|$ (detta "norma 1")

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_p:=(x_1^p+...+x_n^p)^{\frac 1 p}$ (detta "norma p")

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_\infty:=\max\{|x_1|,...,|x_n|\}$ (detta "norma infinito")

Nello spazio vettoriale delle funzioni continue C([0,1],R) la funzione

$f \mapsto \left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in [0,1]} f(x)$

definisce una norma detta norma uniforme.

Nello spazio vettoriale delle funzioni a quadrato sommabile $L 2$ la funzione:

$\psi \mapsto \left\| \psi \right\|_{L^2} := \left(\int_\mathbb{R}\left|\psi(x)\right|^2 dx \right)^{1/2}$

definisce una norma detta norma L².

In generale, ogni prodotto scalare definito positivo induce una norma

$\| x \| := \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .

[modifica] Norma di matrici

Anche per le matrici è possibile definire una norma. Sia $A$ una matrice $n \times m$ . Si chiama $n o r m a$ di $A$ e si indica $\| A \|$ un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni:

$\| A \|=0$ se e solo se $A$ è la matrice nulla
$\| \lambda A \|=|\lambda| \| A \|$ per ogni scalare $λ$
Se $A$ e $B$ sono due matrici, $\| A+B \|\leq \| A \|+ \| B \|$ (disuguaglianza triangolare)
Se $B$ è una matrice il cui numero di righe è uguale al numero di colonne di $A$ allora: $\| A \cdot B \|\leq \| A \| \cdot \| B \|$