Подгруппа

Подгруппа ― подмножество $H$ группы $G$ , само являющееся группой относительно операции, определяющей $G$ .

Подмножество $H$ группы $G$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

[править] Примеры

Подмножество группы $G$ , состоящее из одного элемента $1$ , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы $G$ .
Сама $G$ также является своей подгруппой.

Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некотоpoй бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
Сама группа $G$ и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
Пересечение всех подгрупп группы $G$ , содержащих все элементы некоторого непустого множества $M$ , называется подгруппой, порожденной множеством $M$ , и обозначается $< M >$ .
Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.
- Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
Если группа $G 1$ изоморфна некотоpoй подгруппе $H$ группы $G$ , то говорят, что группа $G 1$ может быть вложена в группу $G$ .

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы $G$ является подгруппой группы $G$ .
Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп $H$ и $K$ называется подгруппа, порожденная объединением множеств $H\cup K$ .
Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.