子群

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在群論裡，給定一個在二元運算*下的群G，則將G的某些子集H稱為G的子群若H也可以形成一個在運算*下的群。更精確地來說，H為G的子群若運算*在H的限制也是個在H上的群運算的話。

一個群G的純子群是指一個子群H，其為G的純子集(即H ≠ G)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群{e}。若H為G的子群，則G有時會被稱為H的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當G為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉*的常規，並將乘積a*b寫成ab。

[编辑] 子群的基本性質

H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a⁻¹都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，ab⁻¹也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群，且a的逆元素會是a⁻¹ = a^{n − 1}，其中n為a的目。)
上述的條件可以用同態來敘述；亦即，H為群G的子群若且唯若H為G的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a，i(a) = a)。
子群的單位元亦是群的單位元：若G是個有單位元素e_G的群，且H為具有單位元素e_H之G的子群，則e_H = e_G。
一個子群內的一元素之逆元素為群內的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b為會使得ab=ba=e_H之H內的元素，則ab = ba = e_G。
子群A和B的交集亦為一個子群。但其聯集亦為一個子群若且唯若A或B包含著另外一個，像是2和3是在2Z與3Z的聯集中，但其總和5則不是。
若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得aⁿ = e的正整數，且n被稱為是a的「目」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限目」。
任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。

[编辑] 例子

令G為一阿貝爾群，其元素為

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

且其群運算為以8為模的加法。其凱萊表為

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

此群有著一對非當然子群：J={0,4}和H={0,2,4,6}，其中J亦是H的子群。H的凱萊表是G的凱萊表之左上半部。群G是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

[编辑] 陪集和拉格朗日定理

給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h屬於H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a₁ ~ a₂若且唯若a₁⁻¹a₂會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G':H]。