Последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Последовательность — функция $x\,\!$ одного натурального переменного, обладающая следующим свойством:

каково бы ни было принадлежащее области определения функции $x\,\!$ натуральное число $n\,\!$ , любое удовлетворяющее условию $m<n\,\!$ натуральное число $m\,\!$ также принадлежит области определения функции $x\,\!$ .

Областью значений функции $x\,\!$ может при этом быть произвольное множество $X$ . Желая уточнить характер этой области, нередко говорят о «последовательности элементов множества $X$ ».

Значение $x(n)\,\!$ обычно называют членом последовательности $x\,\!$ , имеющим номер $n\,\!$ .

Упорядоченные наборы $\langle x(1),\,\!x(2),\ldots x(n)\rangle$ первых $n\,\!$ членов последовательности (рассматриваемые в предположении о существовании члена $x(n)\,\!$ ) называют начальными отрезками последовательности.

[править] Символика

При записи членов последовательностей номер обычно пишут не в скобках после символа функции, а в качестве нижнего индекса при этом символе. Например, вместо записи $x(n)\,\!$ для $n\,\!$ -го члена последовательности $x\,\!$ применяют запись $x_n\,\!$ .

Чаще всего рассматриваются последовательности, областью определения которых является весь натуральный ряд. С целью указать на такой характер области определения функции $x\,\!$ используют обозначение $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ . Аналогично, для последовательностей, областью определения которых является отрезок натурального ряда вида

$I_N=\{n\in\mathbb N\mid n\leqslant N\}$ ,

используют обозначение $\{x_n\}_{n=1}^N$ .

[править] Примеры

Функция $\{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}$ является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид $\langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle$ .
Функция $\{1/n\}_{n=1}^{\infty}$ является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид $\langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle$ .
Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу $n\leqslant 12$ одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида $\{x_n\}_{n=1}^{12}$ . В частности, пятым членом $x_5\,\!$ этой последовательности является слово «май».