Rij (wiskunde)

Van Wikipedia

In de wiskunde is een rij, net als in het dagelijkse spraakgebruik, een opeenvolging van dingen, hier termen genoemd. Preciezer geformuleerd is een rij een geïndiceerde verzameling, meestal weergegeven als: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ . Formeel kan men zo'n verzameling opvatten als een afbeelding van de natuurlijke getallen in een of andere verzameling. Het n-de element van de rij is het beeld van het natuurlijke getal n en wordt meestal weergegeven met dat natuurlijke getal als index.

Vaak zijn de termen in de rij gewoon getallen, maar rijen kunnen ook opgebouwd zijn uit andere elementen, zoals vectoren, matrices, functies, verzamelingen, stochastische variabelen, enz.

[bewerk] Voorbeelden

Een eenvoudig voorbeeld van een rij is de rij $\left(x_n \right)$ : 1, 4, 9, 16, 25, ..., d.w.z. de rij met

x n = n 2

Dit is een getalrij, waarin bijvoorbeeld $x 2 = 4$ en $x 6 = 36$ . We vinden bijvoorbeeld het 32e element uit de rij door te berekenen:

x 32 = 32 2 = 1024

Enkele voorbeelden van getalrijen met speciale eigenschappen zijn:

Er zijn nog veel andere speciale rijen, zoals de rij van Fibonacci die op een recursieve manier gedefinieerd is. Er zijn ook rijen bekend waarvoor men niet in een enkele formule een voorschrift kan formuleren! Het bekendste voorbeeld hiervan is de rij van priemgetallen.

[bewerk] Convergentie

Vaak zal men willen weten of een gegeven rij een limiet heeft. Is er zo'n limiet dan heet de rij convergent, anders divergent.

De rij uit de vorige paragraaf is divergent, omdat de elementen uit de rij steeds groter worden naarmate men verder in de rij gaat. Een voorbeeld van een convergente rij is de rij $\left(y_n \right)$ : 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., dus met

y n = 1 / n

Deze rij convergeert naar het getal 0, omdat de getallen uit de rij willekeurig dicht bij het getal 0 komen.

[bewerk] Divergentie

Als een rij niet convergeert dan divergeert hij. Voor een divergente rij zijn drie mogelijkheden:

De rij blijft steeds groter te worden zonder dat hij naar een punt convergeert. Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., De rij is divergent naar oneindig.
De rij wordt steeds kleiner, zonder naar een punt te convergeren. Bijvoorbeeld: -1, -2, -4, -8, -16, -32, ..., De rij divergeert nu naar min oneindig.
De rij gaat niet naar oneindig, en niet naar min oneindig. Bijvoorbeeld: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., Nu zeggen we simpelweg dat de rij divergeert.

[bewerk] Monotonie

Men noemt een wiskundige rij monotoon stijgend als elk element uit de rij groter of gelijk is aan het voorgaande element. Andersom heet de rij monotoon dalend als elk element kleiner of gelijk is aan het voorgaande. Beide rijen die tot nu toe als voorbeeld zijn behandeld ( $\left(x_n \right)$ en $\left(y_n \right)$ ), zijn monotone rijen: de eerste is monotoon stijgend, de tweede monotoon dalend. Daarentegen is de volgende rij monotoon stijgend noch monotoon dalend:

$\left(z_n \right) = 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, \ldots$