Релятивистская масса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эту статью или раздел следует викифицировать.
Пожалуйста, оформите её согласно общим правилам и указаниям.

Релятивистская масса — величина, характеризующая инерционные и гравитирующие свойства движущейся частицы. $m = \frac{E}{c^2}$ , где E — полная энергия частицы, c — скорость света.

Содержание

1 Аргументы против (парадоксы)
- 1.1 1 Достижение массивного тела скорости света
- 1.2 2 оператор лагранжа
2 См. также

[править] Аргументы против (парадоксы)

[править] 1 Достижение массивного тела скорости света

Несмотря на распространненое заблуждение, о существовании релятивисткой массы, т.е. массы, зависящей от скорости, в физике такая масса не используется [см., к примеру, Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том 2 "Теория поля" ], более того, такая масса ведет к абсурдным результатам. В частности из вышеприведенной формулы можно получить:

$E t o t = m 0 * c 2 * γ$ , где $\gamma= \frac{1}{ \sqrt{(1-v^2/c^2)}}$ , m₀ - часто называемая масса покоя. Отсюда не трудно получить, что

m=m₀*γ. Продолжая подобные рассуждение, расмотрим формулу для силы:

$F=m_0 \gamma \frac{dv}{dt}$ , разделяя переменные, получим:

$\int_{0}^{c} \frac{1}{ \sqrt{(1-v^2/c^2)}}, dv = \int_{0}^{T} \frac{F}{m_0} dt$

Будем считать, что F - постоянная, тогда правый интеграл даст:

$\frac{F*T}{m_0}$ , а левый: $c* \arcsin {\frac{c}{c}}= \frac{\pi}{2c}$

Таким образом, за конечное время $T = \frac{\pi*c*m_0}{2*F}$ , любое тело может достичь скорости света, чего быть неможет. Отсюда следует, что введение такого понятия как релятивисткая масса лишено всякого смысла.

[править] 2 оператор лагранжа

Найдем Лагранжиан свободной частицы.

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: $S= -\int_{a}^{b}\alpha ds$ , где $α$ -положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) $ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$ , подставляя в интграл движения, находим: $S=- \int_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}ds$ . Но, с другой сторны, интеграл движения, можно выразить через фунцию лагранжа: $S=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$ . Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подъинтегральные выражения должны быть равны, т.е.:

$\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}$ .

Далее, разложим последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$ , получим:

$\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$ , первый член разложения независит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравниния движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением лагранжиана: $\frac{m v^2}{2}$ , нетрудно определить константу $α$ :

$α = m c$ . Таким образом, окончательно получаем вид лагранжиана свободной частицы:

$\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$ .

В рассуждениях было принято, по умолчанию, что масса в классическом лагранжиане, совпадает с массой в релятивистком. В ином случае, функция лагранжа, примет другой вид, и следовательно, другой вид примут выражения для энергии, импульса и др.