Лагранжиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лагранжиа́н, функция Лагранжа $\mathcal {L} [\varphi_i]$ динамической системы, названа в честь Жозефа Лагранжа, является функцией динамических переменных $\ \varphi_i (s)$ и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0$

где действие — функционал $\mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},$

${}{}{}{}\ s_\alpha$ обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевые динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

Содержание

1 Пример из классической механики
2 Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля
3 Электромагнитный лагранжиан
4 Лагранжиан квантовой теории поля
5 Ссылки

[править] Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),$

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, $\vec{x}$ — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: $m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0$ , где $\nabla$ — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала $\vec{F}=- \nabla V(x)$ , тогда мы получим уравнение $\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$ , которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ , которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)$

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.$

[править] Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

В теории поля сделано различие между лагранжианом L, действие которого задаётся интегралом по времени

$S = \int{L \, dt}$

и плотностью лагранжиана $\mathcal{L}$ , которую нужно интегрировать по всему фазовому пространству:

$S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}$

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана. Однако в последнее время плотность лагранжиана $\mathcal{L}$ часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Оба определения лагранжиана можно получить в специальных случаях общего определения, зависящих от того, включены пространственные переменные $\vec x$ в индекс i или в параметры s в $\varphi_i(s)$ . Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах $\mathcal{L}$ . Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

[править] Электромагнитный лагранжиан

В общем случае лагранжиан в лагранжевой механике равен

L = T - V

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия. Для заряженной частицы с массой m, зарядом q и скоростью v, находящейся в электромагнитном поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом A, кинетическая энергия задаётся выражением

$T = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v},$

а потенциальная энергия:

$V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$

где c — скорость света. Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

$L = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .$

[править] Лагранжиан квантовой теории поля

[править] Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

$\mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$

где ψ — биспинор, $\bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0$ — его дираковское сопряжение, $F μν$ — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и $\not \!\, D$ — обозначение Фейнмана для $γ σ D σ$ .