Сигма-конечная мера
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе - бесконечная мера, такая что всё пространство может быть представлено в виде объединения измеримых множеств конечной меры.
[править] Определение
Пусть 
- пространство с мерой. Мера μ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств 
, такое что 
и
.
[править] Примеры
- Мера Лебега m на
σ-конечна, так как
![\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots](../../../math/e/c/0/ec0942542054cbf2218bfb48292e7a78.png)
.
- Счётная мера μ на , то есть такая, что
не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.
