Список интегралов элементарных функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но, в отличие от дифференцирования, является нетривиальной процедурой. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье список интегралов.

C использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

[править] Интегралы простых функций

[править] Рациональные функции

см.: Список интегралов от рациональных функций

$\int \,dx = x + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,$ если $n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {du \over {a^2+u^2}} = {1 \over a}\arctan {u \over a} + C$

[править] Логарифмы

см.: Список интегралов от логарифмических функций

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[править] Экспоненциальные функции

см.: Список интегралов от экспоненциальных функций

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[править] Иррациональные функции

см.: Список интегралов от иррациональных функций

$\int {du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin {u \over a} + C$

$\int {-du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arccos {u \over a} + C$

$\int {du \over u\sqrt{u^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|u| \over a} + C$

[править] Тригонометрические функции

см.: список интегралов от тригонометрических функций с список интегралов от обратных тригонометрических функций

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = - \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \ln \sqrt{1 + x^2} + C$

[править] Гиперболические функции

см.: список интегралов от гиперболических функций

$\int \textrm{sh} x \, dx = \textrm{ch} x + C$

$\int \textrm{ch} x \, dx = \textrm{sh} x + C$

$\int \textrm{th} x \, dx = \ln |\textrm{ch} x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \textrm{th} {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\textrm{sh} x) + C$

$\int \textrm{cth} x \, dx = \ln|\textrm{sh} x| + C$

[править] Литература

I. S. Gradshteyn (И. С. Градштейн), I. M. Ryzhik (И. М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, sixth edition. Academic Press, 2000. ISBN 0122947576. Errata. (Несколько предшествующих изданий тоже.)

Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1584882913. (Более ранние издания тоже.)

[править] Ссылки

Таблицы интегралов

Категория: Интегралы