Tabel de integrale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol face parte din seria de articole
Primitive ale diferitelor funcţii

Tabel de integrale

Hiperbolice

Invers trigonometrice

Hiperbolice reciproce

Integrarea este una dintre cele două operaţii de bază din analiza matematică. Nefiind evidentă şi imediată, spre deosebire de diferenţiale, tabelul cu integrale unor funcţii cunoscute este foarte util. Funcţiile rezultate în urma integrării se numesc primitive.

Această pagină este o listă cu câteva dintre integralele unor funcţii des întalnite; o listă mai detaliată se poate consulta la lista integralelor.

Se foloseşte C pentru constanta arbitrară de integrare care poate fi calculată numai dacă se cunoaşte o valoare particulară pentru integrală într-un anumit punct. Prin urmare, fiecare funcţie are un număr infinit de anti-derivate (integrale).

Se poate consulta, de asemenea, şi lista de derivate.

Cuprins

1 Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor
2 Integrale ale funcţiilor simple
3 Integrale definite care nu au primitive imediate
4 Metoda generalizată de aflare a primitivelor

[modifică] Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor

$Pentru\ a\ real\ nenul:\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(\int g(x)\,dx\right)\,d(f(x))$

[modifică] Integrale ale funcţiilor simple

[modifică] Funcţii raţionale

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor raţionale

$\int 1\,dx = x + C$

$\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

[modifică] Funcţii iraţionale

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor iraţionale

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^3-x^2}} = \arccos {x \over a} + C$

$\int {dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|x| \over a} + C$

[modifică] Funcţii logaritmice

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor logaritmice

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[modifică] Funcţii exponenţiale

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor exponenţiale

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[modifică] Funcţii trigonometrice

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor trigonometrice şi Primitivele funcţiilor invers trigonometrice

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

[modifică] Funcţii hiperbolice

mai multe integrale: Primitivele funcţiilor hiperbolice şi Primitivele funcţiilor hiperbolice reciproce

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

[modifică] Integrale definite care nu au primitive imediate

Există câteva funcţii ale căror primitive (sau anti-derivate) nu pot fi exprimate într-o formă fixă, imediat vizibilă. Oricum, valoarea integralelor definite pe anumite intervale poate fi calculată. Unele dintre cel mai utile se găsesc mai jos.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (a se vedea şi Funcţia gamma - Gamma function)

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (Integrala lui Gauss - Gaussian integral)

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (a se vedea şi Numărul lui Bernoulli - Bernoulli number)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ (în care

Γ(z)

este Funcţia gamma - Gamma function)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^\frac{b^2-4ac}{4a}$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (în care

I 0 (x)

este Funcţia Bessel modificată de ordinul întâi - Bessel function)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

[modifică] Metoda generalizată de aflare a primitivelor

Metoda următoare (în engleză, the method of exhaustion) dă o formulă pentru cazul general în care nu existe primitive imediate.

$\int\limits_a^b {f(x)dx = \left( {b - a} \right)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)/2^n ).$