Теорема Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Теорема Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала

$\Phi(x)=\int \frac{\varrho(x^')}{|x-x^'|}\, d^3x$ ,

было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нуж нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведенное выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчета потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

$\int_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint_S A \cdot n\,da$ ,

которая справедлива для любого векторного поля А, определенного в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть $A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi$ , где $\varphi$ и $\psi \,\!$ — произвольные скалярные функции. Тогда

$\operatorname{div}~(\varphi \operatorname{grad} ~\psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi (1)$

$\varphi \operatorname{grad} ~\psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} (2)$ ,

где $\frac{\partial}{\partial n}$ — нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объему V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

$\int_V (\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi)\,d^3x = \oint_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,da (3)$ .

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами $\varphi$ и $\psi\,\!$ , и вычтем ее из (3). Тогда члены с произведением $\operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi$ сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

$\int_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint_S [\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}] \,da$ .

В физике и математике теорема Грина дает соотношение между линейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом

$\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.$

В физике Теорема Грина в основном используется для решения двумерных потоковых интегралов, исходя из того, что сумма исходящих потоков в любой точки области равна результирующему потоку, суммируемому по всей ограничивающей поверхности.

Третье уравнение Грина получается из второго уравнения путем замены $\psi = \frac{1}{x-y}$ и замечания о том, что $\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - y \right)$ в R ³. Если $\phi,\,\!$ дважды деференцируема на U.

$\oint_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k$