Дельта-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

$δ$ -функция — есть сингулярная обобщённая функция. Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке $a$ , евклидова пространства $\mathbb R^n$ , записывается с помощью $δ$ -функции в виде $δ(x - a)$ .

$δ$ -функция не является функцией в классическом смысле. Она определяется как обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Интегральное представление
4 Производная дельта-функции
5 Преобразование Фурье
6 Представление в различных координатах и системах отсчета
7 Физическая интерпретация
8 Ссылки

[править] Определение

$δ$ -функция определяется формальным соотношением

$\int_{\mathbb R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)$

для любой непрерывной функции $f(x)\,$ .

[править] Свойства

Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:

$\delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0$
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1$

[править] Интегральное представление

Во многих физических приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

Рассмотрим интеграл

$I(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega$ , (1)

который можно интерпретировать как предел

$I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}$ . (2)

График функции

s i n (x) / x

Известно, что

$\int_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi$ . (3)

В силу (3) для любого $N\,$ справедливо равенство:

$\int_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi$ . (4)

Можно показать, что при неограниченном росте $N\,$ оказываются верными все свойства дельта-функции и функция (2) в некотором смысле стремится к $\delta(t)\,$ ; это позволяет заключить, что:

$I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t)$ .

[править] Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции $δ(x)$ :

$\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx$ .

Сделав подстановку $f(x)=xg(x)\,\!$ , получим выражение вида:

$\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx$ .

Преобразовав выражение, получим следующее:

$-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx$ .

В силу того, что $\int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0$ , приходим к окончательному выражению

$x\delta^\prime(x)=-\delta(x)\,\!$ .

В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:

$\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx$ .

Для производной дельта-функции так же верны следующие тождества:

$\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)\,\!$ ;

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a)$ ;

$\int_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0$ .

[править] Преобразование Фурье

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

$\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = \delta(f)$

в результате получается спектр вида

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$ .

Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. То есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции:

$H(t)=\int_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt$ .

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции $\sqrt{2\pi}H(t)$ , получим её изображение вида:

$\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t)$ .

[править] Представление в различных координатах и системах отсчета

В двумерном пространстве:

$\iint_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1$ ;

$\delta(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,\;y)$ ;

$\delta^{2}(x,\;y)=\delta(x)\delta(y)\,\!$ .

В полярных координатах:

$\delta^{2}(x,\;y)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|}$ .

В трехмерном пространстве:

$\iiint_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1$ ;

$\delta^{3}(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!$ .

В цилиндрической системе:

$\delta^{3}(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}$ .

В сферической системе отсчета:

$\delta^{3}(r,\;\theta,\;\phi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}\,\!$ .

[править] Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки, поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Данный пример с полем заряженной частицы довольно трудно наглядно представить. Рассмотрим боле простой пример. При ударе двух тел оба тела получают ускорение и приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график является графиком функции Хевисайда, а как было показывано ранее, производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией.

График единичной функции Дирака:

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. Далее приняв то, что данная модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:

a (t) = νδ(t - t a)

Рассмотрим другие примеры. Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе $h \rightarrow 0$ волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, так же записывается функция Грина линейного оператора $L$ , действующего на обобщённые функции над многообразием $M$ в точке $x 0$ . Уравнение имеет вид $(L f)(x) = δ(x - x 0)$ . В приведенной выше формуле, оператор $L$ — оператор Лапласа.

Важно отметить следующую формулу

$\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta$ ,

где $r$ — функция Грина, кривизна.

Данное выражение исходит из того, что $\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$ ведет себя подобно дельта-функции. Данное утверждение используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала: