Теорема о неявной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y = f (x)

, $f:X\to Y$ ,

заданной уравнением

F (x, y) = z 0

, $F:X\times Y\to Z$

и значение $z_0\in Z$ фиксированно.

[править] Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\R\times\R\to\R$

непрерывна в некоторой окрестности точки $(x 0, y 0)$
$F (x 0, y 0) = 0$ и
При фиксированном $x$ , функция $F (x, y)$ строго монотонна по $y$ в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_x \times I_y$ , являющийся окрестностью точки $(x 0, y 0)$ , и такая непрерывная функция $f:I_x\to I_y$ , что для любой точки $(x,y) \in I$

$F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

Обычно дополнительно предполагается что функция $F$ дифференцируема, в этом случае условие монотнности следует из того что $F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad$ , здесь $F y'$ обозначает частную производную $F$ по $y$ . Более того, в этом случае, производная функции $f$ может быть вычислена по формуле