Функция Хевисайда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда, единичная функция, ступенька положения — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле (H(0)).

Функция широко используется в математическом аппарате теории управления и обработке сигналов для представления сигналов, включающихся в определённый момент и остающихся включёнными постоянно. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, $H' = δ$ , это также можно записать как:

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t$

хотя это выражение не является математически.

[править] Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от дискретного аргумента n:

$H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}$

где n — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

δ[n] = H [n] - H [n - 1]

[править] Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

$H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$ ,

где более большой k соответствует более крутому подъёму функции в точке x=0. Если принять H(0) = 1/2, уравнение можно записать в предельной форме:

$H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \$

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \$

[править] Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

$H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau$

[править] H(0)

Значение функции в нуле может быть задано как H(0) = 0, H(0) = 1/2 или H(0) = 1. H(0) = 1/2 — наиболее часто встречающийся случай, ввиду возрастания симметрии функции и связи её с функцие знака:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )$