Johann Bernoulli I.

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Johann Bernoulli I. (tudi Ivan, John ali Jean), švicarski matematik, * 27. julij 1667, Basel, Švica, † 1. januar 1748, Basel.

Johann Bernoulli I.

Johann je bil mlajši Jakobov brat in Danielov oče.

Leta 1691 je študiral eksponentno funkcijo in uvedel študij trigonometričnih funkcij v analizo. Brata sta v neprestanih sporih in matematičnih dvobojih postavljala začetke novega poglavja matematike, variacijskega računa. Že Galilei je ugotovil, da potrebuje drobno telo za pot iz točke v nižjo točko v navpični ravnini krajši čas, če se giblje po krogu kot po ravni črti. Mislil je, da je glede tega krog sploh najugodnejša krivulja. S svojo zmoto je usmeril pozornost k najugodnejši krivulji, ki so jo poimenovali brahistrokrona (brahistohrona), to je krivulja z lastnostjo, da pade po njej telo iz prve točke v drugo nižjo točko v najkrajšem času. Med 1696 in 1697 so o njej razpravljali Leibniz in brata Bernoulli. Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y v začetno lego drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

${1\over 2} mv^2 - m g y = 0 \; .$

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:

$t = \int {ds \over v} = \int_{(1)}^{(2)} {ds\over \sqrt{2gy}} \; ,$

če je $d s 2 = d x 2 + d y 2$ kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

$x = r (\varphi - \sin \varphi) \; ,$

$y = r (1 - \cos \varphi) \; .$

Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro ugotovimo, da je:

$ds = \sqrt{ \left( {dx\over d\varphi} \right) ^2 + \left( {dy\over d\varphi} \right) ^2 } d\varphi = \sqrt{r^2 (1 - \cos \varphi)^2 + r^2 \sin^2 \varphi} d\varphi = \sqrt {2r^2 (1 - \cos \varphi) } d\varphi = \sqrt{2ry} d\varphi$

in čas:

$t = \sqrt{r\over g} \varphi \; .$

Bernoulli je prispeval k rešitvi naloge za ta primer in velja za začetnika variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil leta 1774 Euler. Cikloida je na primer tudi tavtokrona krivulja, to je krivulja, po kateri niha masna točka ali kroglica z nihajnim časom, ki ni odvisen od amplitude njenega nihanja, katero je leta 1673 raziskal Huygens.