Dynamiskt system
Wikipedia
Ett dynamiskt system är en deterministisk process i vilken en variabels värde ändras i tiden enligt en väldefinierad regel som endast beror på variablernas momentana värden. Dynamiska system studeras i den matematiska grenen känd som dynamiska system och kaosteori.
Ett dynamiskt system kallas diskret om tid mäts i diskreta steg; dessa modelleras med rekursion som i exempelvis den logistiska funktionen
- x[n+1] = 4 x[n] (1-x[n])
där n betecknar de diskreta tidstegen och x är variabeln som ändras i tid. Om tid mäts kontinuerligt, så uttrycks det resulterande kontinuerliga dynamiska systemet i ordinära differentialekvationer, till exempel
- dx/dt = 4 x (1-x)
där x är variabeln som ändras i tid.
Den varierande variabeln x är ofta ett reellt tal, men kan även vara en vektor i Rk.
Man skiljer mellan lineära dynamiska system och ickelineära dynamiska system. I lineära system är högerledet av ekvationen ett uttryck som beror lineärt på x, som i
- x[n+1] = 3x[n].
Om två lösningar till ett lineärt system är givna, så är deras summor också en lösning ("överlagringsprincipen"). Allmänt bildar lösningarna ett vektorrum, som medger användning av linjär algebra och förenklar analys avsevärt. För lineära kontinuerliga system kan metoden med Laplace-transformationen användas för att transformera differentialekvationer till algebraiska ekvationer.
De två tidigare exemplen är ickelineära system. De är mycket svårare att analysera och det diskreta systemet uppvisar ett fenomen känt som kaos som markerar total oförutsägbarhet; se även ickelineäritet. Ett intresant problem som studerades av Mitchell Feigenbaum är vad som händer om talet 4 (parametern) oven byts ut mot ett mindre tal. Han visade att så länge som parametern är tillräckligt liten, så kommer systemet bete sig helt förutsägbart, genom att följden x[1], x[2], ... konvergerar. När parametern når över ett visst tröskelvärde, så uppstår en s.k. bifurkation, varvid lösningen alternerar mellan två värden. Växer parametern ytterligare, växlar lösningen mellan 4, 8, 16, ... olika värden (periodicitet). Man kan då visa att det för varje heltal n så finns ett värde på parametern så att periodiciteten blir precis n.
Feigenbaum visade också att avståndet mellan två bifurkationer avtar på ett mycket regelbundet sätt - inte bara för den logistiska funktionen utan för en mycket stor klass av funktioner. I processen upptäckte han två nya naturkonstanter, båda kallade Feigenbaums konstant:
- δ = 4,6692...
och
- α = 2,5029...
Båda dessa tal antas vara transcendenta, men detta är inte bevisat.
