Kardinaltal

Wikipedia

Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element (=kardinaliteten). |M| är alltså antalet element i M.

När man i mängdteorin definierar alla naturliga tal enligt mönstret 0 = ø och n = {0, 1, 2, ... , n-1} så får varje naturligt tal sig själv som kardinaltal. Exempelvis är |14|=14 eftersom 14 innehåller 14 element.

Varje naturligt tal är alltså ett ändligt kardinaltal. Det finns också oändliga kardinaltal. Ett exempel på oändligt kardinaltal är Alef-0 som är antalet element i mängden av alla naturliga tal. Om denna mängd skrivs N har vi alltså att |N| = Alef-0. Antalet heltal och rationella tal är lika många som antalet naturliga tal så även dessa mängder har kardinaltalet Alef-0. Alef-0 är det minsta oändliga kardinaltalet. Det går inte att bilda en mängd med oändligt många element men färre element än N.

Observera att en delmängd av en oändlig mängd kan ha samma kardinaltal som den ursprungliga mängden. T.ex. har mängden av alla udda tal samma kardinaltal som mängden av heltal (Alef-0 i båda fallen).

Det finns ingen gräns för hur stora kardinaltal vi kan bilda (se Cantors sats). Exempel: Mängden R av alla reella tal har kardinaltalet 2^Alef-0 som är större än Alef-0 (se även kontinuumhypotesen).

Alla kardinaltal som är mindre än eller lika med Alef-0 kallas uppräkneliga (detta inkluderar naturligtvis alla ändliga). Kardinaltal som är större än Alef-0 kallas ouppräkneliga.

Varje kardinaltal α har en entydig efterföljare som är det minsta kardinaltal som är större än α. Efter Alef-0 kommer nämligen Alef-1. Sedan följer i tur och ordning Alef-2, Alef-3, Alef-4, .... Det minsta kardinaltal som är större än alla kardinaltal på formen Alef-i där i är ett naturligt tal, är Alef-(Alef-0), som dock oftare skrivs Alef-omega. Sedan följer Alef-(omega+1), Alef-(omega+2) etc. Närmare bestämt så finns ett kardinaltal Alef-(alfa) för varje Ordinaltal alfa. Det finns därmed ingen gräns på hur stora kardinaltal man kan bilda. Detta förklaras av Cantors sats.

Kardinaltalen har en aritmetik, som till vissa delar är trivial men vars potensoperation är ett aktivt och omfattande forskningsfält. Närmare bestämt så gäller för två kardinaltal $a$ och $b$ att:

a + b = a b = max(a, b)

a b > b

a > 1

a > b

och

c > 1

medför $c^a \ge c^b$

Om vi introducerar begreppet kofinalitet för ett kardinaltal som följer:

cf a = det minsta kardinaltal k så att a är unionen av k st delmängder, alla vars kardinalitet är mindre än a.

så kan vi ge ytterligare en lag:

2 a > a

Man kan visa att för reguljära kardinaltal, dvs de som satisfierar cf a=a, är dessa lagar allt som går att visa rörande kardinaltalsaritmetik. För de singuljära kardinaltal vars kofinalitet är överuppräknelig är det känt att deras artimetik väsentligen styrs av de på de reguljära kardinaltalen. Singuljära kardinaltal med uppräknelig kofinalitet är ännu inte välförstådda, men studeras bl.a i Saharon Shelahs PCF-teori. Ett exempel på ett resultat från denna är:

Om 2^alef-k < alef-omega för alla naturliga tal k, så gäller 2^alef-omega < alef-(omega-4).

[redigera] Vag definition

Ett vagt sätt att formulera innebörden av begreppet kardinaltal för en mängd, A, är att säga att dess kardinaltal är den egenskap som den delar med alla andra mängder som är ekvivalenta med A; Att två mängder, A och B, är ekvivalenta betyder att det finns en bijektiv avbildning $f : A \longrightarrow B$ mellan dem.

[redigera] Precis definition

Principen om väl-ordning säger att varje mängd, A, kan associeras med en ordningsrelation $\leq_i$ , som gör paret $(A,\leq_i)$ till en väl-ordnad mängd. Enligt Räkne-teoremet kan varje väl-ordnad mängd associeras med ett unikt ordinaltal. Följaktligen kan mängden A associeras med en familj av ordinaltal

$M = \{\alpha_i : i \in I\}.$

Om vi tillämpar principen om väl-ordning på familjen M, så ser vi att den kan associeras med en ordningsrelation $\leq$ som gör paret $(M,\leq)$ till en väl-ordnad mängd. Med avseende på denna ordningsrelation har familjen M ett minsta element. Det är detta element som defineras att vara kardinaltalet för mängden A.

[redigera] Exempel

Låt A vara den ändliga mängden A = {0,1,2,3}. Med avseende på den vanliga ordningsrelationen $\leq$ på de naturliga talen, är paret $(A,\leq)$ en väl-ordnad mängd. Denna associeras med ordinaltalet 4, enligt von Neumanns konstruktion av det naturliga talet 4. Om vi tänker oss en annan väl-ordningsrelation på A, så kan vi fortfarande associera den uppkomna väl-ordnade mängden med ordinaltalet 4; detta följer av von Neumanns konstruktion av 4. Följaktligen kommer familjen M, bestående av samtliga ordinaltal assocerade med mängden A, att vara M = {4}. Det minsta elementet i denna mängd är 4, varför kardinaltalet för mängden A är card(A) = 4.

[redigera] Egenskaper

Det finns inte någon mängd som innehåller samtliga kardinaltal; den så kallade Cantors paradox är en motsägelse som uppstår om man antar att att det finns en mängd som innehåller samtliga kardinaltal.