การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์, e สามารถกระจายในรูปอนุกรมได้เป็น

$e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

ซึ่งนำมาใช้พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะได้

สมมติให้ e เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น e จะเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้ โดยเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม. ให้ e = a/b

พิจารณาจำนวนนี้

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

x เป็นจำนวนเต็ม สังเกตจาก

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}$

$= a(b - 1)! - (b! + b! + \frac{b!}{2!}+\cdots+1)$

x เป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่า 1 สังเกตจาก

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

$0 < x = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$

$< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1$

แต่ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 1 ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น e จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%81/%E0%B8%B2/%E0%B8%A3/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9E%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B9%E0%B8%88%E0%B8%99%E0%B9%8C%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2_e_%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0.html".

หมวดหมู่: บทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ | เลขชี้กำลัง | ทฤษฎีบท | การพิสูจน์

การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

Views

ป้ายบอกทาง

ค้นหา

ภาษาอื่น