จำนวนตรรกยะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น $3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2$ รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน

จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง เราจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือตัวใหญ่บนกระดานดำ $\mathbb{Q}$ โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

[แก้] เลขคณิต

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะสามารถทำได้โดยหลักต่อไปนี้

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

จำนวนตรรกยะสองจำนวน $\frac{a}{b}$ และ $\frac{c}{d}$ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ $a d = b c$

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรงข้ามสามารถทำได้โดย

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0$

[แก้] ประวัติศาสตร์

[แก้] เศษส่วนอียิปต์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเต็มบวก

เช่น $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}$

สำหรับจำนวนตรรกยะบวกใดๆ จะสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ เราเรียกรูปแบบนี้ว่า เศษส่วนอียิปต์ เพราะชาวอียิปต์สมัยโบราณใช้จำนวนและรูปแบบเหล่านี้ เนื่องจากอักษรอียิปต์โบราณจะใช้สัญลักษณ์ที่มีรูปร่างคล้ายปาก (ออกเสียงเหมือน R)ในการเขียนจำนวนเหล่านี้ เศษส่วนด้านบนจะสามารถเขียนได้ว่า R2R6R21 หรือใช้อักษรอียิปต์โบราณ เขียนจากซ้ายไปขวา ได้ดังนี้

½ เป็นหนึ่งในสามข้อยกเว้น ซึ่งสามารถเขียนได้ตามอักษรอียิปต์โบราณด้านบน ส่วนข้อยกเว้นที่เหลืออีกสองจำนวน คือ

$= \frac{2}{3}$

$= \frac{3}{4}$

ชาวอียิปต์ยังมีรูปแบบการเขียนที่แตกต่างออกไปสำหรับเศษส่วนไดแอดิก ดูเพิ่มเติมที่ตัวเลขอียิปต์.

[แก้] รูปแบบมาตรฐาน

ในทางคณิตศาสตร์ เรากำหนดให้จำนวนตรรกยะเป็นคู่ลำดับของจำนวนเต็ม $\left(a, b\right)$ เมื่อ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ เรากำหนดนิยามการบวกและการคูณของคู่ลำดับเหล่านี้โดย

$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$

$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$

เพื่อให้เป็นไปตามหลักสากล ซึ่ง $2 / 4 = 1 / 2$ , เราใช้สมบัติการเท่ากัน $˜$ โดยใช้กฎดังนี้

$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc$

สมบัติการเท่ากันนี้ใช้ได้ทั้งการบวกและการคูณตามที่กำหนดไว้ด้านบน และเราอาจกำหนด Q ให้เป็นเซตการหารของ ~ เช่น เรากำหนดคู่ลำดับสองคู่ (a, b) และ (c, d) โดยคู่ลำดับทั้งสองเท่ากันตามหลักด้านบน

เราอาจกำหนดกฎการเรียงลำดับใน Q โดย

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad \le bc$

[แก้] สมบัติของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

จำนวนเต็ม (Integer) ประกอบไปด้วยจำนวนธรรมชาติ จำนวนลบ และจำนวนศูนย์ เซตของจำนวนเต็มมักเขียนอยู่ในรูป Z ซึ่งมาจากคำว่า Zahlen (ภาษาเยอรมัน)
เศษส่วน (Fraction)
ทศนิยม (Repeating decimal)

[แก้] จำนวนจริง

ส่วนนี้ของบทความยังไม่สมบูรณ์ คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มเติมเนื้อหาในส่วนนี้

[แก้] จำนวน p-แอดิก

จำนวนตรรกยะ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ จำนวนตรรกยะ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ

ดึงข้อมูลจาก "http://th.wikipedia.org../../../%E0%B8%88/%E0%B8%B3/%E0%B8%99/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0.html".

หมวดหมู่: บทความที่เนื้อหาบางส่วนรอเพิ่มเติม | บทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ | เศษส่วน | จำนวนจริง | จำนวน