Hilbert'in Uçlar Aritmetiği

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Alman matematikçi David Hilbert'in 1871'deki bir makalesinde^[1] incelemiş olduğu hiperbolik geometri'nin Poincaré modeli için verdiğiDavid Hilbert Vikipedi, özgür ansiklopedi (Hilbert sayfasından yönlendirildi) Git ve: kullan, ara David Hilbert

Alman matematikçi Doğumu 23 Ocak 1862 Königsberg Almanya Ölümü 14 Şubat 1943 Göttingen Almanya David Hilbert, (23 Ocak 1862, Königsberg - 14 Şubat 1943, Göttingen) ünlü Alman matematikçidir.

1895 ile 1929 yılları arasında Göttingen Üniversitesi'nde profesörlük yaptı. Yirminci yüzyılın başlarında, Alman matematik okulunun önderi sayılır. 1897 yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar cisminin kuramını kurdu. 1890 yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel geometri ve modern cebirde önemli bir rol oynayan çokterimli idealleri kuramının temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel kanunlarını ortaya koymayı başardı. 1899 yılında, geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bit sentezi olan "Geometrinin Temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.

Somut görüntülere başvurmaktan kaçınan Hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye adlandırdığı "Üç nesne sistemini" matematiğe soktu. Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, 5 grupta toplanmış 21 aksiyomla açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar. Ait olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandır. Bundan sonra, aksiyomlardan birinin veya öbürünün doğrulanmadığı geometriler kurdu. Temel terimleri kendilerine aksiyomlarla yüklenen özelliklerden başka özelikleri bulunmayan mantıksal varlıklar olarak ele aldı. Klasik matematiği savunmak ve ondaki apaçıklığı göstermek için Brouwer ile giriştiği tartışmalar, matematikte geniş biçimli incelemelere yol açtı.

1943 yılında Göttingen'de öldü.

"http://tr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert"'dan alındı

cebirsel geometrik yapı. Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor. Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor.

Hiperbolik geometride her paralel ışın, hiperbolik düzlemin dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz. izdüşümsel geometri). Ayrıca her yakınsak paralel ışın sınır çember denilen ideal noktalarda kesişir. Bu yüzden Hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya "uç" terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar. Noktayı da bir doğru demeti denklemiyle elde eder.

Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir hiperbolik analitik goemetri veya bir hiperbolik trigonometri inşa edilebilir. Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur.

[değiştir] Uç Toplaması

Öncelikle, yapacağımız toplama tanımında toplamın varlığını veren üç yansıma teoremini verelim.

Sav.

Ortak uçları $ω$ olan üç tane m, n, p doğrusu verilsin. Ucu $ω$ olan öyle bir dördüncü r doğrusu vardır ki bu doğrudaki yansıma, diğer üç doğrunun yansımalarının çarpımına eşittir.

σ r = σ m σ n σ p

ki burada $σ d$ , d doğrusundaki yansımayı ifade eder.

Şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verebiliriz.

Eğer yukarıdaki savda $p = α$ , n=0 ve $m = β$ alınırsa $r = α + β$ olarak tanımlanabilir:

σ α + β = σ β σ 0 σ α

ki burada herhangi bir $α$ için, $σ α$ o ucun $(\alpha,\infty)$ doğrusundaki yansımasını ifade eder.

Tanım.

$\infty$ ucundan farklı herhangi iki $α$ , $β$ uçları ve $(0,\infty)$ doğrusundaki bir C noktası verilsin. A noktası, C 'nin $(\alpha, \infty)$ doğrusuna olan yansıması ve B noktası da C 'nin $(\beta, \infty)$ doğrusuna olan yansıması olsun. O halde $α + β$ toplamı, $\infty$ ucundan farklı AB doğrusuna dik gelen kenarortay olarak tanımlanır.

Toplama iyi tanımlıdır ve (H,+) kümesini birim öğesi 0 olan Abelci bir öbek yapar.