Теорема Гамільтона-Келі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теорема Гамільтона-Келі (на честь В.Гамільтона і А.Келі) стверджує, що результат підстановки будь-якої $n\times n$ квадратної матриці $A$ до її характеристичного полінома тотожньо дорівнює нулю:

p A (A) = 0.

З цієї теореми, зокрема, випливає, що множина власних значеннь матриці $A$ збігається з множиною корней її характеристичного полінома. Це надає змогу знаходити власні значення і власні вектори матриць. Теорема Гамільтона-Келі також дозволяє виразити поліноми довільно високої степені від $n\times n$ матриці $A$ як лінійні комбінації $A^{n-1},\ldots,A,I.$

[ред.] Пояснення і приклади

Для того, щоб належно зрозуміти формулювання теореми Гамільтона-Келі, потрібно в першу чергу надати зміст поліномам від матриць. Якщо $A$ — це квадратна матриця, то означені її степені $A^0=I,A^1=A, A^2=A\cdot A,\ldots, A^{k}=A\cdot A^{k-1},$ які поводяться аналогічно до степенних функцій $x^k, k\geq 0,$ а саме $x^k\cdot x^l=x^{k+l}.$ Тому для будь-якого полінома однієї змінної $f(x)=a_0 x^k+a_1 x_{k-1}+\ldots+a_{k-1}x+a_k$ маємо можливість розглянути вираз

$f(A)=a_0 A^k+a_1 A^{k-1}+\ldots+a_{k-1} A+a_k I,$

якій є квадратною матрицею того самого порядка, як і $A,$ і такі вирази додаються і множаться на зразок поліномів скалярної змінної, $(f + g)(A) = f (A) + g (A), f g (A) = f (A) g (A).$ Це дозволяє обчислювати поліноми від $A$ за звичайними правилами алгебри.

[ред.] Приклад

$A=\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}, p_A(\lambda)=\lambda^2-3\lambda-2.$ Тоді $A^2=\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 3\\6 & 11\end{bmatrix},$ тому

$p_A(A)=A^2-3A-2I=\begin{bmatrix}2 & 3\\6 & 11\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & 3\\6 & 9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}=0.$

[ред.] Спеціальні випадки

Переконаємося, що теорема спроваджується для квадратних матриць порядка $2.$

Маємо $A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}, p_A(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}A\lambda+\det A I=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)I,$ тому

p A (A) = A 2 - (a + d) A + (a d - b c) I =

$=\begin{bmatrix}a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}(a+d)a & (a+d)b\\ (a+d)c & (a+d)d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}ad-bc & 0\\0 & ad-bc\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}.$

Розглянемо також спеціальний випадок діагональних матриць. Якщо $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ — це діагональна матриця і $f (x)$ — поліном, то $f(A)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n)).$ З іншого боку, характеристичний поліном $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\ldots(\lambda-\lambda_n),$ тому $p_A(\lambda_1)=\ldots=p_A(\lambda_n)=0,$ і ми одержуємо $p_A(A)= \operatorname{diag}(0,\ldots,0)=0.$