Власний вектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) $n\times n$ матриці $A$ із вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) $λ$ — це ненульовий дійсний або комплексний $n -$ вектор $v$ , для якого виконується співвідношення

$Av = \lambda v, \qquad (*)$

де $λ$ це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Таким чином, власні вектори матриці $A$ — це ненульові вектори, які поводяться найпростішим чином під дією $A,$ а саме, множаться на скаляр $λ.$

Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі $V .$ Якщо цей простір — скінченовимірний, то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного базису $V .$ Оскільки власні вектори і власні значення було означено геометрично (тобто, без устосування коордінат), вони не залежать від вибора базиса у $V .$ Тому подібні матриці мають однакові власні значення.

Ця стаття в процесі редагування на короткий час.

Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені.

Якщо ця сторінка не редагувалася недавно (кілька годин!), будь ласка приберіть цей шаблон.

Це повідомлення призначено до допомоги скорочення конфліктів редагування; будь ласка приберіть його між сесіями редагування, щоб дати іншим користувачам можливість поліпшити цю сторінку.

[ред.] Приклади

$A = I n$ це одинична матриця. Оскільки для довільного вектора $v$ виконується $A v = v,$ довільний ненульовий вектор є власним вектором $I n$ із власним значенням $1.$

Якщо $A=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)$ це діагональна матриця, то будь-який елемент $e i$ стандартного базису $n -$ мірного векторного простору — це власний вектор із власним значенням $a i .$

[ред.] Власні значення і спектр матриць

Провідну роль у теоретичному розумінні власних значень матриць відіграє теорема Гамільтона-Келі. З неї випливає, що власні значення $n\times n$ матриці $A$ є корнями характеристичного поліному $A,$ певного полінома $n$ го степеня. Зокрема, $n\times n$ матриця $A$ має якнайбільше $n$ власних значень (але безліч власних векторів для кожного з них). Відомо, що і навпаки, будь-який корень характеристичного поліному є власним значенням. Тому за основною теоремою алгебри, існує точно $n$ комплексних власних значень, враховуючи кратності. Кратність корня $λ$ характеристичного полінома матриці $A$ називається алгебраїчною кратністю власного значення $λ.$ Сукупність усіх власних значень матриці або лінійного оператора у скінченовимірному векторному просторі називається спектром матриці або лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для нескінченозмірних векторних просторів: у загальному випадку, до спектра оператора можуть належати $λ,$ які не є власними значеннями.)

Завдяки зв'язку характеристичного поліному матриці з її власними значеннями, останні часом називаються характеристичними числами матриці.

[ред.] Власний простір та кратність

Сукупність усіх векторів (включаючи і нульовий), які задовільняють співвідношенню (*) є лінійним підпростором і називається вла́сним про́стором (англ. eigenspace) матриці $A$ з власним значенням $λ$ . Якщо $λ$ не є власним значенням $A,$ то відповідний власний простір складається лише з нульового вектора.

Розмірність власного простору називається геометричною кратністю відповідного власного значення $λ.$ У курсі лінійної алгебри доводиться, що геометрична кратність власного значення не більша за його алгебраїчну кратність. Якщо існують принаймні два лінійно-незалежні власні вектори з однаковим власним значенням $λ,$ то таке власне значення називається виродженим. Ця термінологія використовується переважно у тому разі, як геометрична і алгебраїчна кратності власних значень збігаються, наприклад, для ермітових матриць (пор. нижче).

[ред.] Деякі властивості

Якщо $v_1,\ldots,v_k$ це власні вектори матриці $A$ із попарно відмінними власними значеннями, то ці вектори є лінійно незалежні.

Припустимо, що $A$ — це нормальний оператор у гільбертовому просторі. Далі, нехай $u, v$ — це два власні вектори власними значеннями $\lambda\ne\mu$ . Тоді $u, v$ ортогональні вектори, тобто їх скалярний добуток дорівнює $0.$ Зокрема, всі ермітові матриці мають цю властивість.