Фрактал
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярні, самоподібні структури. В широкому розумінні, фрактал означає фігуру, малі частини якої, в довільному збільшенні, подібні до неї самої. Термін фрактал було введено в 1975 році Бенуа Мандельбротом.
Зміст |
[ред.] Історія
Об'єкти, які тепер називаються фракталами, були відкриті та досліджувались задовго до того, як їм було надано таку назву. В етноматематиці, наприклад, в роботах Рона Еглаша "Африканські Фрактали" (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами". Пентагон Дюрера в багато чому схожий на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти дуже схожі на фрактали.
Ідею "рекурсивної самоподібності" було висунуто філософом Лейбніцом, який, також, розробив багато із деталей цієї ідеї. В 1872, Карл Веєрштрас знайшов приклад функції з неінтуітивною особливістю, яка б була всюди неперервною, але ніде не диференційована — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904, Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним визначенням Веєрштраса, розробив більш геометричне визначення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинуто Полєм П'єром Леві, котрий, в своїй роботі в 1938 році Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, описав нову фрактальну криву, яка відома тепер як Крива Леві.
Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали. Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці 19 та на початку 20 століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату, та Ґастоном Жюліа. Однак, за відсутності сучасної комп'ютерної графіки, у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.
В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад Яка довжина узбережжя Британії? Статистична самоподібність та дрібна розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботах Луі Фрая Річардсона. В 1975 році, Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів розмірність Гаусдорфа яких більша за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне визначення вражаючими зображеннями, зробленими на комп'ютері. Ці зображення привернули велику увагу; багато із них базувались на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.
[ред.] Приклади
Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі, і ще коротші (відкриті) інтервали видаляються із одиничного інтервалу [0, 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде) самоподібною при збільшенні і, можливо, матиме (або не матиме) розмірність Гаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як видалення цифри 7 із десятеричного представлення, самоподібний при 10-кратному збільшенні, і має розмірність Гаусдорфа log 9/log 10 (це значення однакове не залежно від основи логарифму), показує зв'язок між двома концепціями. Для порівняння, топологічна розмірність довільної множини Кантора дорівнює 0 і, тому, всі множини Кантора є фракталами.
Також, до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського та килим Серпінського, губка Менгера, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні, та крива Коха. Фрактали можуть бути детерміновані або стохастичними (наприклад, недетермінованими).
Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами (дивіться атрактор). Об'єкти в просторі параметрів сімейства систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта. Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Гаусдорфа дорівнює топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона, формально, не є фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Гаусдорфа границі множини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М. Шішікурою в 1991.
[ред.] Фрактальна розмірність границі кривої Коха
Наведений нижче аналіз Сніжинки Коха є прикладом того, як самоподібність може використовуватись для аналізу властивостей фрактала.
Загальна довжина N малих сходинок L дорівнює добутку NL. При застосуванні до сніжинки Коха, отримуємо невизначене число при L спрямованому до 0. Але, таке визначення не є задовільним, оскільки різні криві Коха мають різні розміри. Розв'язок полягає в тому, щоб вимірювати ні в метрах m, ні в квадратних метрах m2, але в деякому іншому ступені метра, mx. Тепер 4N(L/3)x = NLx, оскільки в три рази коротший відрізок потребує в 4 рази більше відрізків, як це видно на малюнку. Розв'язком цього рівняння є x = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26186. Тому, одиниця вимірювання довжини границі сніжинки Коха дорівнює приблизно m1.26186.
[ред.] Генерування фракталів
 |
 |
 |
 Навіть збільшення в 2000 разів розкриває деталі множини Мандельброта, які відтворюють всю множину. |
Три поширені методи генерування фракталів:
-
- Ітераційні функції — будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень. Множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат, губка Менгера є прикладами таких фракталів.
- Рекурентні відношення — Фрактали, які визначаються рекурентним відношенням в кожній точці в просторі (такому, як площина комплексних чисел). Прикладами фракталів цього типу є множина Мандельброта, палаючий корабель та фрактал Ляпунова.
- Випадкові процеси — Фрактали, які генеруються із використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад, фрактальні ландшафти, траєкторія Леві та броунівське дерево. Останній утворює так звані кластери дифузійних концентратів (en:diffusion-limited aggregation), реакційних концентратів (en:reaction-limited aggregation).
[ред.] Класифікація фракталів
Фрактали, також, можна класифікувати відповідно до їхньої самоподібності. Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
-
- Точна самоподібність — Це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точну самоподібність.
- Майже-самоподібність — Слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже-самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, генеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай майже- , але не точно самоподібні.
- Статистична самоподібність — Це найслабша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, які зберігаються під час збільшення. Найприйнятніші визначення "фракталів", просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності. (розмірність фракталу, само по собі, є чисельною мірою, яка зберігається при збільшенні.) Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже- і не точно самоподібними.
Слід зазначити, що не всі самоподібні об'єкти є фракталами — наприклад, числова вісь (евклідова пряма) є точно самоподібною, але, оскільки її розмірність Гаусдорфа та топологічна розмірність дорівнюють одиниці, вона не є фракталом.
[ред.] Фрактали в природі
Приблизні фрактали можна легко знайти в природі. Ці об'єкти мають самоподібну структуру при великих, але обмежених діапазонах збільшень. Як приклади, можна назвати хмари, сніжинки, гори, мережі річок, та системи кровоносних судин.
Дерева та папороті фрактальні за своєю природою, та можуть моделюватись на комп'ютерах із використанням рекурсивних алгоритмів. Таку рекурсивність ясно видно на цих прикладах — гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого: не ідентичне, але схоже по природі.
Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням фракталів: починати з трикутника в 3 вимірному просторі, та з'єднати центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутника. Центральні точки потім зсовуються догори або донизу на випадкову відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється, зі зменшенням діапазону на кожній ітерації на половину. Рекурсивна природа алгоритму гарантує, що ціле статистично подібне до кожної із деталей.
 При розриві двох вкритих клеєм листів акрилу, утворюється фрактальний візерунок. |
 Високовольтний розряд в 4″ блоці акрилу створює фрактальний рисунок Ліхтенберга. |
 Фрактальні тріщини з'являються на DVD диску після обробки мікрохвильовим випроміненям. |
 Капуста Romanesco broccoli демонструє дуже дрібні природні фрактали |
[ред.] Застосування
[ред.] Генерація зображень природних об'єктів
Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебраїчні і стохастичні — для побудови ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних об'єктів та інших об'єктів.
[ред.] Механіка рідин
Фракталами добре описуються наступні процеси, що стосуються механіки рідин і газів:
- динаміка і турбулентність складних потоків;
- моделювання полум'я;
- вивчення пористих матеріалів, у тому числі в нафтохімії.
[ред.] Біологія
- Моделювання популяцій;
- біосенсорні взаємодії;
- процеси всередині організму, наприклад, биття серця.
[ред.] Фрактальні антени
Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така антена працює не гірше звичайної. І хоча фізичні принципи роботи такої антени не вивчені до сих пір, це не завадило Коену заснувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск.
[ред.] Стиснення зображень
За допомогою фракталів можна стискати великі растрові зображення до долей їх нормальних розмірів. Це твердження випливає з теореми Банаха про стискуючі перетворення і є результатом роботи дослідника Технологічного інституту шт. Джорджія Майкла Барнслі.
Коротко метод можна описати наступним чином. Зображення кодується кількома простими перетвореннями (в нашому випадку афінними), тобто визначається коефіцієнтами цих перетворень (в нашому випадку A, B, C, D, E, F).
Наприклад, закодувавши якесь зображення двома афінними перетвореннями, ми однозначно визначаємо його за допомогою 12-ти коефіцієнтів. Якщо тепер задати якою-небудь початковою точкою (наприклад, X = 0 Y = 0) і запустить ітераційний процес, то ми після першої ітерації отримаємо дві точки, після другої — чотири, після третьої — вісім і т. д. Через кілька десятків ітерації сукупність отриманих точок буде описувати закодоване зображення. Але проблема полягає в тому, що дуже важко знайти коефіцієнти перетворень, які кодували б довільне зображення.
Незважаючи на те, що було створено програмне забезпечення, що реалізує ці алгоритми (наприклад, бібліотеки фрактального стиснення використовуються в Microsoft Encarta), достатньо ефективного рішення не було знайдено досі, а сам Майкл Барнслі продовжує працювати в даному напрямку.
[ред.] Децентралізовані мережі
Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного зберігання інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku тримає лише 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол під'єднується до загальної мережі без необхідності в центральному регулюванні роздавання IP-адрес, що, наприклад, характерно для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення гарантує повністю децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.
[ред.] Дивіться також
- Теорія біфуркації
- Ефект метелика
- Теорія хаосу
- Складність
- Фрактальне мистецтво
- Фрактальний ландшафт
- Фрактальне стискання
- Фрактал Ньютона
- Рекурсія
- Турбулентність
- Функція Файгенбаума
[ред.] Джерела інформації
[ред.] Зовнішні посилання
- Xaos — вільна програма-переглядач фракталів для Windows, Mac, Linux; підтримується збільшення та анімації в реальному часі, автопілот. Ліцензія GNU GPL.
- Dmoz.org: Chaos and Fractals — категорія, присвячена хаосу та фракталам.
- Dmoz.org: Chaos and Fractals: Software — перелік програмного забезпечення для роботи з фракталами.
