פרקטל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פרקטל הוא צורה גאומטרית שדומה לעצמה בכל רמת פירוט שנסתכל בה. במילים אחרות: לא חשוב כמה נתבונן אל תוך חלקיו של הפרקטל, הוא תמיד ידמה לצורתו המקורית.

משולש סירפינסקי הוא פרקטל. ממד האוסדורף שלו הוא ln 3 / ln 2, שהוא בקירוב 1.58

הפרקטל הוא צורה טבעית נפוצה. מבנה עורקיו של עלה, כלי הדם בגוף, צורת קו חוף, צורת כפור או פתית שלג, בכולם ניתן לרדת לפרטים הקטנים ולהרגיש כאילו אנו מתבוננים עדיין בתמונה השלמה.

עצמים שאותם ניתן לכנות "פרקטל" נחקרו שנים רבות קודם ליצירת מושג זה. בשנת 1872 מצא המתמטיקאי קארל ויירשטראס פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה, אך אין נקודה שהיא גזירה בה, הנקראת פונקציית ויירשטראס על שמו. במושגי ימינו פונקציה זו היא פרקטל. בשנת 1904 יצר המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך את פתית השלג של קוך, צורה פרקטלית מובהקת.

פרקטל קבוצת מנדלברוט

גאורג קנטור נתן דוגמה נוספת לקבוצה בעלת אופי פרקטלי, קבוצת קנטור. בניסיון להבין את משמעותם של עצמים מסוג זה, מתמטיקאים כקונסטנטין קרתיאודורי ופליקס האוסדורף הכלילו את מושג הממד, כך שיוכל לקבל גם ערכים שאינם מספרים טבעיים.

לפי תפיסת הממד הקלאסית, כאשר שרטוט עובר קינום, חלקים בעלי N ממדים בו גדלים ביחס ישר ליחס הקינום בחזקת N. למשל, כאשר מגדילים ריבוע שאורך צלעו 1 פי עשרה, גדל אורכה של הצלע פי עשרה. שטחו של הריבוע, ישות דו ממדית, גדל פי מאה. אורכו של קו פרקטלי עשוי לגדול פי עשר בחזקת ארבעה שלישים למשל, כמו בפתית השלג של קוך. אומרים על קו פרקטלי כזה שממדו הוא ארבעה שלישים.

תנופה משמעותית לחקר הפרקטלים ניתנה בתחילת שנות השישים על-ידי המתמטיקאי האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד במעבדות המחקר של IBM, והתבסס על עבודתו של המתמטיקאי בן זמנו גסטון ג'וליה. בשנת 1975 טבע מנדלברוט את המונח "פרקטל" לציון עצמים הדומים לעצמם. מנדלברוט חקר סדרות של מספרים מרוכבים מהצורה $\ z_{n+1}=z_n^2+z_0$ . קבוצת מנדלברוט, הקרויה על-שמו, כוללת את המספרים $\ z_0$ שעבורם הסדרה $\ \{z_n\}$ חסומה.

הפרקטל מאפשר למתמטיקאים העוסקים בתורת הכאוס להסביר מודלים א-סימטריים ואי-לינאריים היות והממד הפרקטלי עליו מתבסס הפרקטל עונה לשני התנאים הנ"ל. אי לכך קשה עד בלתי אפשרי להוכיח באמצעות המתמטיקה הקלאסית את מבנהו ואת חוקיותו (או חוסר חוקיותו) של ציור/נוסחה סבוך זה.

כיום מקובל לצייר פרקטלים באמצעות מחשב על אמצעי הפלט של המחשב (צג, מדפסת וכו'). ישנן תוכנות כגון Ultra-Fractal ודומותיה, המאפשרות לכל אחד לבנות פרקטל ייחודי.