Trường (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Xin xem các mục từ khác có tên tương tự ở Trường.

Trường cùng với nhóm và vành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Mục lục

1 Khái niệm
2 Ví dụ
3 Các trường hợp không phải là trường
4 Trường con
5 Trường các thương
6 Xem thêm
7 Liên kết ngoài

[sửa] Khái niệm

Trường (đại số) là một tập F trên đó có hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn:

F là nhóm giao hoán với phép cộng
F* = F -{0} là nhóm giao hoán với phép nhân
Trên F phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau:

Trường là một tập hợp F trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng: + : F x F $\to$ F

(a,b) $\longmapsto$ a + b

Phép nhân: * :F x F $\to$ F

(a,b) $\longmapsto$ a.b

thoả mãn các tiên đề sau

F1: Phép cộng kết hợp: $\forall$ a,b,c $\in$ F,(a+b)+c=a+(b+c);
F2: Tồn tại phần tử 0: $\exists$ 0 $\in$ F, $\forall$ a $\in$ F, a+0 = 0 + a = a;
F3: Tồn tại phần tử đối: $\forall$ a $\in$ F, $\exists (-a)\in$ F, a + (-a) =(-a)+a =0;
F4: Phép cộng giao hoán: $\forall$ a,b $\in$ F,a+b=b+a;
F5: Phép nhân kết hợp: $\forall$ a,b,c $\in F$ ,(a.b).c=a.(b.c);
F6: Tồn tại phần tử đơn vị: $\exists$ 1 $\in$ F,1≠0, $\forall$ a $\in$ F, a.1 = 1. a = a;
F7: Tồn tại phần tử nghịch đảo: $\forall$ a $\in$ F và a≠0, $\exists$ a^-1 $\in$ F,a^-1.a=a.a^-1=1;
F8: Phép nhân giao hoán: $\forall$ a,b $\in F$ , a.b=b.a;
F9: Phép nhân phân phối với phép cộng: $\forall$ a,b,c $\in F$ ,a.(b+c)=a.b+a.c;

[sửa] Ví dụ

Tập hợp các số hữu tỷ $\mathbb {Q}$ , tập các số thực $\mathbb {R}$ , tập các số phức $\mathbb {C}$ là trường.
Cho p là một số nguyên tố. Tập hợp ${\mathbb Z}_p$ với phép cộng và phép nhân modulo p là một trường.

Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.

Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.

[sửa] Các trường hợp không phải là trường

Mọi tập ${\mathbb Z}_n$ với phép cộng và phép nhân modulo n trong đó n là hợp số không là một trường.

[sửa] Trường con

Giả sử F là một trường. Tập con E $\subset$ F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E $\subset$ F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

E là trường con của F
$\forall a,b \in E: a+b \in E, a.b \in E, -a \in E$ và nếu $a \ne 0: a^{-1} \in E$
$\forall a,b \in E: a-b \in E$ và nếu $b \ne 0: a.b^{-1} \in E$

Ví dụ:
- Trường số hữu tỷ $\mathbb Q$ là trường con của trường số thực, $\mathbb R$ trường số thực là trường con của trường số phức $\mathbb C$ .
- Tập A $\subset \mathbb R$

A= $\left \{ a + b.\sqrt 2 \;|\; a,b \in \mathbb Q \right \}$

là trường con của $\mathbb R$ .

- Tập các ma trận cấp 2 dạng

$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng

$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ là trường con của nó.

[sửa] Trường các thương

[sửa] Xem thêm

[sửa] Liên kết ngoài

Bài này là bài sơ thảo trong lĩnh vực toán học. Bạn có thể hoàn thiện bằng cách viết bổ sung vào đây (trợ giúp).

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org../../../t/r/%C6%B0/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_%28%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91%29.html”

Thể loại: Sơ thảo toán học | Tiêu bản | Toán học | Lý thuyết trường | Cấu trúc đại số