切比雪夫多项式

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切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号T_n表示，第二类切比雪夫多项式用U_n表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0$

和

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0$

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.

[编辑] 定义

第一类切比雪夫多项式由以下递归式确定

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

也可以用母函数表示

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

第二类切比雪夫多项式 由以下递归式给出

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$

此时母函数为

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.$

[编辑] 从三角函数定义

第一类Chebyshev多项式由以下三角恒等式确定

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,$

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . $\cos n\theta \,$ 是关于 $\cos\theta \,$ 的 n次多项式，这个事实可以这么看： $\cos n\theta \,$ 是: $(\cos\theta+i\sin n\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin\theta \,$ 的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含 $\sin\theta \,$ 的项中， $\sin\theta \,$ 都是偶数次的，从而可以表示成 $1-\cos^2\theta \,$ 的幂。

用显式来表示

$T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{cases}$

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

$\begin{matrix} T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\ & = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x)) \end{matrix} \ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.$

类似，第二类切比雪夫多项式满足

$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$

[编辑] 以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

$T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!$

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

$T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!$

[编辑] 归递公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

T 0 (x) = 1

U - 1 (x) = 1

T n + 1 (x) = x T n (x) - (1 - x 2) U n - 1 (x)

U n (x) = x U n - 1 (x) + T n (x)

证明的方式是在下列三角关系式中用 $x$ 代替 $\cos\vartheta$

$T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {}$ $\cos((n + 1)\vartheta) = {}$ $\cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {}$ $T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_n(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {}$

x T n (x) - (1 - x 2) U n (x)

[编辑] 正交性

T_n 和U_n 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

即:

$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrix} \right.$

可先令x= cos(θ) 利用 T_n (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

$\sqrt{1-x^2}$

即:

$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n=m \end{cases}$

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

[编辑] 基本性质

对每个非负整数 $n$ ， $T n (x)$ 和 $U n (x)$ 都为 $n$ 次多项式。并且当 $n$ 为偶（奇）数时，它们是关于 $x$ 的偶（奇）函数，在写成关于 $x$ 的多项式时只有偶（奇）次项。

时， $T n$  的最高次项系数为  $2 n - 1$  ， $n = 0$ 时系数为 $1$  。

[编辑] 最小零偏差

对 $1 \le n$ ，在所有最高次项系数为1的 $n$ 次多项式中， $f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)$ 对零的偏差最小，即它是使得 $f (x)$ 在 $[ - 1,1]$ 上绝对值的最大值最小的多项式。其绝对值的最大值为 $\frac1{2^{n-1}}$ ，分别在 $- 1$ 、 $1$ 及 $f$ 的其他 $n - 1$ 个极值点上达到。

[编辑] 两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

$\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots$

$T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,$

$T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).$

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

$2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots$

[编辑] 例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ T₅.

前几个第一类切比雪夫多项式是

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ U₅. 虽然图像中无法显示,我们实际有 U_n(1)=n+1 以及 U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

前几个第二类切比雪夫多项式是

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,$

[编辑] 按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

$p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)$

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。

[编辑] 切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出T_n 的n个根分别是：

$x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$

类似地， U_n 的n个根分别是：

$x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.$

[编辑] 参看

切比雪夫节点
切比雪夫滤波器

[编辑] 参考

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.

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