Многочлены Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

Первая последовательность, $T n (x)$ , многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2^n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1].

Вторая последовательность, $U n (x)$ , многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.

[править] Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода $T n (x)$ могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

Многочлены Чебышёва второго рода $U n (x)$ могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$

[править] Явные формулы

Из теории линейных рекуррент можно вывести явную формулу для многочленов Чебышёва: $T_n(x)=\frac{1}{2}[(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n]$ . Однако, вычисления по этой формуле требуют работы с комплексными числами при $x\in[-1;1]$ .

[править] Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода $T n (x)$ могут быть также определены с помощью равенства:

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,$

Многочлены Чебышёва второго рода $U n (x)$ могут быть также определены с помощью равенства:

$U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.$

[править] Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

[править] Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению.
Минимальность нормы на отрезке $[ - 1,1]$ среди всех полиномов имеющих такой же коэффициент при старшей степени.
Среди всех полиномов, имеющих на отрезке $[ - 1,1]$ норму, не превышающую норму полинома Чебышёва, полинимом Чебышева первого рода принимает наибольшие по модулю значения за пределами этого отрезка.
Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

[править] Ссылки

Васильев Н., Зелевинский А., Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения, Квант, № 1, 1982.

Категории: Вычислительная математика | Многочлены | Теория приближений

Многочлены Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Рекурсивное определение

[править] Явные формулы

[править] Тригонометрическое определение

[править] Примеры

[править] Свойства

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках