变分法

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变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。

[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)

[编辑] du Bois Raymond定理

[编辑] Fermat原理

最优控制的理论是变分法的一个推广

[编辑] 参看

等周不等式
变分原理
费尔马原理
最小作用原理
无穷维优化
泛函分析
微扰法

[编辑] 参考

Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962