希尔伯特计划

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希爾伯特計劃是一個由大衛‧希爾伯特在1920年提出的數學計畫。是一個關於公理系統相容性的嚴謹證明的一項計畫。

Hilbert reagierte damit auf die Antinomien, die sich aus der Cantorschen Mengenlehre ergeben hatten und insbesondere von Bertrand Russell aufgezeigt worden waren. Hilbert wollte versuchen, die gesamte „klassische“ Mathematik und Logik zu bewahren, ohne dabei auf die imprädikative Mengenlehre zu verzichten. Zitat:

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

Hilbert erkannte aber an, dass einige klassische Beweismethoden wie die reductio ad absurdum, die das tertium non datur unterstellen, als fragwürdig nachgewiesen waren. Auch das Auswahlaxiom wurde von den Intuitionisten nicht akzeptiert. Hilbert wollte die Mathematik als formales System neu definieren. Innerhalb dieses Systems sollten die üblichen Beweismethoden zulässig sein. Zitat:

Den Mathematikern den Satz vom ausgeschlossenen Dritten wegzunehmen wäre das gleiche, wie dem Astronomen das Teleskop oder dem Boxer die Benutzung seiner Fäuste zu verbieten.

Diese Vorgehensweise sollte aber dadurch abgesichert werden, dass außerhalb des „formalen Systems“, im Bereich der Metamathematik, die Widerspruchsfreiheit der formal herleitbaren Sätze nachgewiesen wird. Für diesen Nachweis wollte Hilbert nur finite Methoden zulassen, also Argumentationen, die erhaben sind über jeden Verdacht, Antinomien zu ermöglichen.

Das Ziel des Programmes war es also, einen Kalkül bzw. ein Axiomensystem zu finden, das die Mathematik und Logik auf eine gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt. Insbesondere sollte der Kalkül mächtig genug sein, um für jeden mathematischen Satz beweisen zu können, ob er wahr oder falsch ist, und alle wahren Sätze sollten aus dem System ableitbar sein. Das System musste also widerspruchsfrei und vollständig sein. Ferner sollten die Axiome so einfach sein, dass sie unmittelbar als wahr zu erkennen sind.

Das Hilbertprogramm fand breite Beachtung in der Mathematik und viele bekannte Logiker und Mathematiker beteiligten sich daran, unter anderem Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann und Jacques Herbrand.

Das Hilbertprogramm schlug allerdings fehl: der österreich-slowakische Mathematiker 哥德爾 bewies, dass es in einem hinreichend mächtigen System immer Sätze gibt, die mit den Mitteln des selben Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können (參見哥德爾不完備定理). Der Brite Alan Turing kam in Bezug auf das eng verwandte Halteproblem von Automaten auf ein ähnliches Ergebnis.

Diese Erkenntnis erschütterte das Gebäude der Mathematik nachhaltig und führte zu einiger Verunsicherung. Dennoch war der Fehlschlag des Hilbertprogramms ein enormer Erfolg für Mathematik und Logik, da sie zu tieferen Erkenntnissen darüber führte, wie formale Systeme funktionieren und was sie vermögen. Viele wichtige Gebiete der modernen Mathematik und Informatik sind aus dem Hilbertprogramm hervorgegangen, insbesondere die Mengenlehre und die Berechenbarkeitstheorie.

這個計劃不應該和希爾伯特的二十三個問題混淆，不過這個計劃對數學的發展也有著重要的影響