超限归纳法

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超限归纳法是数学归纳法的形式之一，可以应用于(大的)良序集，比如说应用到序数或基数，甚至于所有有序的集。

超限归纳法可用於证明一个函数P在所有序数中成立：

1. 基础：证明 P(0) 成立；
2. 归纳：证明对于任何一个序数 b，如果 P(a) 在所有序数 a < b 中成立，那么 P(b) 也将成立。

后面一步常常分解为两种情况:

• 能应用和一般的归纳法相似的方法后继序数 (有直接前驱的序数)，(P(a)蕴涵P(a + 1))，
• 没有前驱的极限序数，因此不能用这种方法。

显然，极限序数可以通过极限序数b 是所有序数的上确界来处理；因为对于所有序数都有 a < b，所以假定在所有的 a < b 中 P(a) 成立，则证明了 P(b)。

上面的基础步骤实际上是多余的。如果在所有的 a < b 中，P(b) 获得自 P(a) 为真，那么 P(0) 成立就是一个简单的特殊情况，因为在所有 a < 0 中 P(a) 成立。