區間
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[编辑] 簡說
在基礎代數，區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能同時包含該兩個實數。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示「排除」，方括號表示「包括」。例如，區間(10,20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。
[编辑] 嚴格定義
區間是全序集T的子集S，使得若x和y均屬於S且x<z<y，則z屬於S。
特別重要的情況是當T=R。
R的區間有以下七種（a和b為實數且a < b）：
- (a,b) = { x | a < x < b }
- [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
- [a,b) = { x | a ≤ x < b }
- (a,b] = { x | a < x ≤ b }
- (a,∞) = { x | x > a }
- [a,∞) = { x | x ≥ a }
- (-∞,b) = { x | x < b }
- (-∞,b] = { x | x ≤ b }
- (-∞,∞) = R 自身，實數集
- {a}
- 空集
＃1、＃5、＃7、＃9和＃11稱為「開區間」（因為它們是開集），＃2、＃6、＃8、＃9、＃10和＃11稱為「閉區間」（因為它們是閉集）。＃3和＃4有時稱為「半開區間」或「半閉區間」。＃9和＃11同時為「開」和「閉」，並非「半開」、「半閉」。
＃1、＃2、＃3、＃4、＃10和＃11有界區間；＃5、＃6、＃7、＃8和＃9為無界區間。＃10為單點。
[编辑] 區間算術
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
- T × S = { x |屬於T的某些y，及屬於S的某些z，使得x = y × z }.
區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集[a,b]及[c,d]：
- [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]
- [a,b] - [c,d] = [a-d, b-c]
- [a,b] * [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
- [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)]
被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。
[编辑] 另一種寫法
以下寫法常見於法國和其他歐洲國家：
- ]a,b[ = { x | a < x < b }
- [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
- [a,b[ = { x | a ≤ x < b }
- ]a,b] = { x | a < x ≤ b }
