Інтервал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Інтерва́л (рос. интервал, англ. interval, нім. Zwischenraum m, Abstand m; Bereich m, Zone f, Intervall n) —

1) Перерва у (просторі або часі), пауза, проміжок.

2) в математиці, концепція відносно належності або майже-належності чисел до послідовності. Сукупність усіх чисел (або точок), що містяться між двома даними числами а та b (або точками), яка не включає їх.

[ред.] Алгебра

В елементарній алгебрі, інтервал є множиною, яка місить всі дійсні числа між двома вказаними числами та, можливо, і самі числа. Зазвичай, інтервали записуються як пара чисел відокремлених комою і оточених дужками. Як правило, квадратні дужки '[' та ']' вказують на те, що до інтервалу належать всі числа, які більше за нижню та менше за верхню границю, включно із самими границями. Круглі дужки '(' та ')' вказують на те, що до інтервалу належать всі числа між нижньою та верхньою границями, окрім самих границь. Так, наприклад, до інтервалу [1, 10] належать всі числа, які більше 1 та менше 10, включаючи, також 1 і 10. Для позначення інтервалу, який не містить свої границі, слід використати круглі дужки: (1, 10). Цей інтервал містить всі числа між 1 та 10, але не містить ні 1, ні 10.

[ред.] Вища математика

У вищій математиці, інтервал визначається формально: інтервал це така підмножина S повністю впорядкованої множини T, що для будь яких x та y, які належать до S, виконується x < z < y тоді z належить S.

Як було вказано вище, особливо важливий випадок, це коли $T=\mathbb{R}$ , множина дійсних чисел.

У випадку множини дійсних чисел $\mathbb{R}$ , розрізняють одиннадцять різних загальних типів інтервалів (тут a та b — дійсні числа, та a < b):

$(a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}$ ,
$[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}$ ,
$[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}$ ,
$(a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}$ ,
$(a,\infty)=\{x\,|\,x>a\}$ ,
$[a,\infty)=\{x\,|\,x\geq a\}$ ,
$(-\infty,b)=\{x\,|\,x<b\}$ ,
$(-\infty,b]=\{x\,|\,x\leq b\}$ ,
$(-\infty,\infty)=\mathbb{R}$ це просто вся множина дійсних чисел,
${a}$ ,
$\varnothing$ — порожня множина

У всіх вказаних випадках, a та b позначають границі інтервалу. Якщо взяти до уваги розширену множину дійсних чисел (en:extended reals), тоді з'являється ще п'ять нових випадків:

$[-\infty,b]=\{x\,|\,x \leq b\}\bigcup \{ -\infty\}$
$[-\infty,b)=\{x\,|\,x < b\}\bigcup \{ -\infty\}$
$[a,\infty]=\{x\,|\,x \geq a\}\bigcup \{\infty\}$
$(a,\infty]=\{x\,|\,x > a\}\bigcup \{\infty\}$
$[-\infty,\infty]=\mathbb{R}^+$

Інтервали, які не містять обидві свої гарниці (позначаються круглими дужками: (a, b) ) називаються відкритими. Інтервали, які включають обидві свої границі (позначаються квадратними дужками: [a, b] ) називаються закритими. Інтервали, які містять лише одну із своїх границь, називаються півзакритими або піввідкритими (наприклад, [a, b), або (−1, 10]).

Інтервали грають важливу роль в теорії інтегралів, так як вони є найпростішими множинами, «розмір», «міру» або «довжину» яких легко визначити. Концепцію міри можливо, згодом, поширювати для складніших множин, отримуючи міру Бореля та міру Лебега.