Polynom

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

$p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n$ ,

kde $a_n \neq 0$ . Čísla $a 0, a 1,..., a n$ se nazývají koeficienty polynomu.

Funkci $P$ dvou proměnných $x \in R, y \in R$ označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla $n, m$ a konstanty $a i j$ takové, že platí

$P(x,y) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j$

[editovat] Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent x s nenulovým koeficientem. Nulový polynom p(x) = 0 někdy bývá označován jako polynom stupně −1. Stupeň polynomu se někdy značí deg p(x).

[editovat] Příklady polynomů

$p (x) = 0$ je tzv. nulový polynom, tedy polynom, který má všechny koeficienty nulové, tzn. $a i = 0, i = 0,1,2,...$
$p (x) = 4$ je polynom nultého stupně (konstanta)
$p (x) = 8 x + 3$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
$p (x) = 3 x 2 + 2 x - 2$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
$p (x) = 3 x 3 - 8 x$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

[editovat] Operace s polynomy

Mějme polynom $n$ -tého stupně $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_n \neq 0$ , a polynom $m$ -tého stupně $g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i, b_m \neq 0$ .

Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. $f (x) = g (x)$ pro všechna $x$ pouze tehdy, je-li $n = m$ a pro každé $i = 1,2,..., n$ platí $a i = b i$ .

Sečtením polynomů $f (x)$ a $g (x)$ získáme polynom

$h(x) = f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^r (a_i + b_i) x^i$ ,

kde $r = m a x (n, m)$ je stupeň výsledného polynomu.

Součin polynomů $f (x), g (x)$ je polynom $f(x) \cdot g(x)$ , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je $s = n + m$ .

Platí tedy, že $\sum_{i=0}^n a_i x^i \cdot \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{n+m} (\sum_{j=0}^i a_j\cdot b_{i-j}) x^i$ .

Je-li kde $n \geq m$ , pak existují právě dva polynomy $r (x), s (x)$ takové, že platí

f (x) = g (x) r (x) + s (x)

kde $s (x)$ má stupeň menší než $m$ nebo je nulovým polynomem. Pokud $s (x)$ je nulový polynom, pak říkáme, že polynom $f (x)$ je dělitelný polynomem $g (x)$ .

[editovat] Příklady

Mějme polynomy $f (x) = x 4 - x$ , $g (x) = x 3 - 2 x + 1$

f (x) + g (x) = x 4 - x + x 3 - 2 x + 1 = x 4 + x 3 - 3 x + 1

$f(x) \cdot g(x) = (x^4 - x)(x^3 - 2x + 1) = x^7 - 2x^5 + x^4 - x^4 + 2x^2 - x = x^7 - 2x^5 + 2x^2 - x$

Pokusme se zjistit, zda je polynom $f (x) = x 4 - 3 x 2 + 2 x + 1$ dělitelný polynomem $g (x) = x 2 + 1$ .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu $f (x)$ členem s nejvyšší mocninou polynomu $g (x)$ , tzn. $\frac{x^4}{x^2} = x^2$ . První člen polynomu $r (x)$ tedy bude $x 2$ . Tímto členem vynásobíme polynom $g (x)$ (dostaneme tedy $x 4 + x 2$ ) a výsledek odečteme od polynomu $f (x)$ , čímž získáme nový polynom $f 1 (x) = f (x) - (x 4 + x 2) = - 4 x 2 + 2 x + 1$ .

Nejvyšší člen polynomu $f 1 (x)$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu $g (x)$ , tzn. $\frac{-4 x^2}{x^2} = -4$ , tzn. další člen polynomu $r (x)$ je $- 4$ . Tímto členem opět násobíme polynom $g (x)$ , tzn. získáme $- 4 x 2 - 4$ , a výsledek odečteme od polynomu $f 1 (x)$ . Získáme nový polynom $f 2 (x) = 2 x + 5$ .

Stupeň polynomu $f 2 (x)$ je však nižší než stupeň polynomu $g (x)$ , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom $f 2 (x)$ tedy odpovídá polynomu $s (x)$ .

Výsledek tedy je

f (x) = x 4 - 3 x 2 + 2 x + 1 = g (x) r (x) + s (x) = (x 2 + 1)(x 2 - 4) + (2 x + 5)

tzn. $r (x) = x 2 - 4$ a $s (x) = 2 x + 5$ .

Vzhledem k tomu, že $s(x) \neq 0$ , není polynom $f (x)$ dělitelný polynomem $g (x)$ .

[editovat] Kořeny polynomu

Číslo $α$ se nazývá kořen polynomu $p (x)$ , jestliže platí

p (α) = 0

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

[editovat] Derivace polynomu

Derivací polynomu $\sum_{i=0}^n a_i x^i$ rozumíme polynom tvaru $\sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i x^{i-1}$ . Derivaci značíme $f$ '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

$f\ ^{(1)}=f$ '

$f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})$ '

[editovat] Vlastnosti

Je-li $α$ kořenem polynomu $p (x)$ stupně $n \geq 1$ , pak

p (x) = (x - α) g (x)

kde $g (x)$ je polynom stupně $n - 1$ .

Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze $k$ kořenů polynomu $n$ -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom $p (x)$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu $g (x)$ stupně $n - k$ , tzn.

$p(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k) g(x)$ ,

kde $α i$ představují známé kořeny polynomu $p (x)$ . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu $p (x)$ stačí hledat pouze kořeny polynomu $g (x)$ , tzn. řešit rovnici $g (x) = 0$ , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu $p (x)$ . Polynom $g (x)$ získáme z polynomu $p (x)$ jeho vydělením výrazem $(x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_k)$ .

Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom $p (x)$ stupně $n \geq 1$ lze zapsat ve tvaru

$p(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$ ,

kde $α 1,α 2,...,α n$ jsou kořeny polynomu $p (x)$ . Členy $(x - α i)$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenový činitelé vícekrát, můžeme psát

$f(x) = a_n (x - \alpha_1)^{k_1} \cdot (x -\alpha_2)^{k_2} \cdot ... \cdot (x - \alpha_n)^{k_n}$ ,

kde $k 1 + k 2 + ... + k n = n$ , přičemž $k i$ jsou přirozená čísla. Čísla $k i$ určují násobnost kořene $α i$ , tzn. kolikrát se kořen $α i$ vyskytuje v řešení polynomu.

Pokud má polynom stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty $k$ -násobný kořen $α = a + i b$ , má také $k$ -násobný kořen $\overline{\alpha} = a - i b$ . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem $(x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - 2 x a + (a^2 + b^2)$ .

Podle předchozího tvrzení lze každý polynom $p (x)$ stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla $a n$ , reálných kořenových činitelů $x - α i$ a reálných trojčlenů $x 2 + p i x + q i$ , splňujících podmínku $p_i^2 - 4 q_i < 0$ , tzn.

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_k)(x^2 + p_1 x + q_1)(x^2 + p_2 x + q_2) \cdots (x^2 + p_m x + q_m)$ ,

kde $α 1,...,α k, p 1,..., p m, q 1,..., q m$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka $k + 2 m = n$ .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

$p(x) = a_n (x - \alpha_1)^{u_1} \cdots (x - \alpha_s)^{u_s}(x^2 + p_1 x + q_1)^{v_1} \cdots (x^2 + p_r x + q_r)^{v_r}$ ,

kde $u 1 + u 2 + ... + u s = k$ určuje počet reálných kořenů polynomu a $v 1 + v 2 + ... + v r = m$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Pokud jsou $α 1,α 2,...,α n$ kořeny polynomu $p (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0$ , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

α 1 + α 2 + ... + α n = - a 1

α 1 α 2 + α 1 α 3 + ... + α 1 α n + α 2 α 3 + ... + α 2 α n + + α n - 1 α n = a 2

…

$\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_n$

Zapišme polynom $p(x)=\sum_{i=0}^n {a_i x^i}$ ve tvaru

p (x) = (...((a n x + a n - 1) x + a n - 2) x + ... + a 1) x + a 0

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu $p (x)$ v bodě $x$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

c n = a n

c n - 1 = c n x + a n - 1

c n - 2 = c n - 1 x + a n - 2

…

c 0 = c 1 x + a 0

pak poslední číslo $c 0$ představuje právě hodnotu polynomu $p (x)$ v bodě $x$ .

Polynomy tvoří vektorový prostor.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../p/o/l/Polynom.html“

Kategorie: Algebra | Čísla | Matematické funkce