Ortogonální polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Systém polynomů $f n (x)$ se nazývá ortogonální na intervalu $a \leq x\leq b$ vzhledem k váhové funkci $w (x) > 0$ , pokud platí

$\int_a^b w(x)f_m(x)f_n(x) \mathrm{d}x=0 \; \mbox{ pro } m \neq n, m,n=0,1,...$ ,

přičemž platí

$\int_a^b w(x)f_n^2(x)\mathrm{d}x = h_n$ ,

kde $h n$ jsou konstanty.

Obsah

1 Obecné vyjádření
2 Rodriguezův vzorec
3 Diferenciální rovnice ortogonálních polynomů
4 Derivace ortogonálního plynomu
5 Rekurentní vyjádření
6 Podívejte se také na
7 Literatura

[editovat] Obecné vyjádření

Ortogonální polynomy lze vyjádřit různými způsoby, např. ve tvaru

$f_n(x) = d_n \sum_{m=0}^N c_m g_m(x)$ .

Dosazením vhodných $d n, N, c n, g n (x)$ (a $h n$ ) získáme odpovídající polynom.

Např. Legendrovy polynomy $P n (x)$ dostaneme pokud

N

je rovno celočíselné části čísla $\frac{n}{2}$

$d_n = \frac{1}{2^n}$

$c_m = {(-1)}^m{n \choose m}{{2n-2m} \choose n}$

g m (x) = x n - 2 m

$h_n = \frac{2}{2n+1}$

Přidružené (zobecněné) Laguerrovy polynomy $L_n^{(\alpha)}(x)$ lze získat pro

N = n

d n = 1

$c_m = \frac{{(-1)}^m}{m!}{{n+\alpha} \choose {n-m}}$

g m (x) = x m

$h_n = \frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{n!}$

Hermitovy polynomy $H n (x)$ lze vyjádřit pomocí

N

rovno celočíselné části čísla $\frac{n}{2}$

d n = n!

$c_m = \frac{{(-1)}^m}{{m!}{(n-2m)!}}$

g m (x) = (2 x) n - 2 m

$h_n = \sqrt{\pi}2^n {n!}$

[editovat] Rodriguezův vzorec

Ortogonální polynomy lze také vyjádřit tzv. Rodriguezovým vzorcem

$f_n(x) = \frac{1}{a_n\rho(x)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\{\rho(x){\left[g(x)\right]}^n\}$

Legendrovy polynomy získáme z Rodriguezova vzorce pro

a n = ( - 1) n 2 n n!

ρ(x) = 1

g (x) = 1 - x 2

Přidružené Laguerrovy polynomy $L_n^{(\alpha)}(x)$ dostaneme pro

a n = n!

ρ(x) = e - x x α

g (x) = x

Hermitovy polynomy získáme z Rodriguezova vzorce pro

a n = ( - 1) n

$\rho(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$

g (x) = 1

[editovat] Diferenciální rovnice ortogonálních polynomů

Ortogonální polynomy vyhovují diferenciální rovnici

$u_2(x) \frac{\mathrm{d}^2 y(x)}{\mathrm{d}x^2} + u_1(x) \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} + u_0(x)y(x)=0$

Rovnici pro Legendrovy polynomy získáme dosazením

u 2 (x) = 1 - x 2

u 1 (x) = - 2 x

u 0 (x) = n (n + 1)

Rovnici pro přidružené Laguerrovy polynomy dostaneme pro

u 2 (x) = x

u 1 (x) = α + 1 - x

u 0 (x) = n

Rovnici pro Hermitovy polynomy dostaneme pro

u 2 (x) = 1

u 1 (x) = - 2 x

u 0 (x) = 2 n

[editovat] Derivace ortogonálního plynomu

Derivace ortogonálního polynomu vyhovuje rovnici

$g_2(x)\frac{\mathrm{d}f_n(x)}{\mathrm{d}x} = g_1(x)f_n(x) + g_0(x)f_{n-1}(x)$

Vztahy pro jednotlivé polynomy získáme opět dosazením za $g 0, g 1, g 2$ .

Derivaci Legendrova polynomu získáme dosazením

g 2 (x) = 1 - x 2

g 1 (x) = - n x

g 0 (x) = n

Derivaci přidruženého Laguerrova polynomu dostaneme pro

g 2 (x) = x

g 1 (x) = n

g 0 (x) = - (n + α)

Pro derivaci Hermitova polynomu bude

g 2 (x) = 1

g 1 (x) = 0

g 0 (x) = 2 n

[editovat] Rekurentní vyjádření

Ortogonální polynomy lze také vyjádřit rekurentním vztahem

a 1 n f n + 1 (x) = (a 2 n + a 3 n x) f n (x) - a 4 n f n - 1 (x)

Rekurentní vztah pro Legendrovy polynomy získáme pro

a 1 n = n + 1

a 2 n = 0

a 3 n = 2 n + 1

a 4 n = n

Rekurentní vztah pro přidružené Laguerrovy polynomy dostaneme pro

a 1 n = n + 1

a 2 n = 2 n + α + 1

a 3 n = - 1

a 4 n = n + α

Hermitovy polynomy vyjádříme dosazením parametrů

a 1 n = 1

a 2 n = 0

a 3 n = 2

a 4 n = 2 n

[editovat] Podívejte se také na

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
Skála L.: Úvod do kvantové mechaniky, Academia, Praha 2005, 1. vydání, ISBN 80-200-1316-4

Soubor:Matematika - matematický pahýl (antialiasing).png

Tento matematický článek je pahýl. Můžete pomoci Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../o/r/t/Ortogon%C3%A1ln%C3%AD_polynomy.html“

Kategorie: Lineární algebra | Matematické pahýly